Sur la fonction $\pi(x)$

Ah donc $x$ est essentiellement une constante, ça change beaucoup de choses !

Dans ce cas on peut faire des calculs élémentaires, et utiliser le théorème des nombres premiers sous la forme $\pi(y) = \frac{y}{\log y}(1+o(1))$ pour mettre en évidence les termes principaux dans $$\pi(x^{k+1}\log N\log\log N) - \pi(x^{k}\log N\log\log N).$$ Je mets seulement une des étapes pour traiter le terme principal concernant $\pi(x^{k}\log N\log\log N)$, le reste étant similaire : \begin{align}\frac{x^k \log N \log \log N}{\log(x^k \log N \log \log N)} &= \frac{x^k \log N \log \log N}{\log \log N + k \log x + \log \log \log N}\\ &= x^k \log N \frac{1}{1 + \frac{k \log x + \log \log \log N}{\log \log N}}\\ &= x^k \log N \left(1 + O\left(\frac{k \log x + \log \log \log N}{\log \log N}\right)\right) \end{align} où le dernier développement est légitime car $k \log x + \log \log \log N = O(\log \log N)$ par hypothèse sur $k$ et le fait que $x$ est borné. Enfin, puique $x$ est borné, on retrouve le $O$ de ton message.