Théorème d'Ascoli

Homo Topi
Homo Topi
dans Analyse
Je m'intéresse à un cas "restreint" du théorème d'Ascoli, particulièrement important en analyse fonctionnelle d'après mes bouquins.
Soient
- $(K,d)$ un espace métrique compact,
- $F$ un espace vectoriel de dimension finie,
- $\mathcal{C}^0(K,F)$ muni de la distance uniforme
- $A \subseteq \mathcal{C}^0(K,F)$
Alors : $A$ est relativement compacte si, et seulement si, elle est équicontinue et bornée.
De ce que je lis dans mes bouquins, c'est censé être une caractérisation très pratique des parties relativement compactes, en particulier quand $F=\R$ ou $\C$. Donc il serait bon de connaitre des parties équicontinues... et là, dans mes bouquins, c'est très vague, souvent ça ressemble à "si machin est une partie équicontinue, alors truc est aussi équicontinue", donc il faut déjà connaitre une partie équicontinue pour commencer.
Pour rester classique, prenons $K=[a,b]$ ou même $K=[0,1]$ directement, et $F=\R$.
Qu'est-ce qui existe comme parties équicontinues "utiles à connaitre" ou "de référence" de $\mathcal{C}^0([0,1],\R)$ ? Merci :)

Réponses

  • Manda
    Manda
    Modifié (February 2023)
    Typiquement l'ensemble des fonctions $k$-lipschitzienne avec $k$ fixé, ce qui englobe par exemple tout ensemble de fonctions $C^1$ de dérivée bornée par une certaine constante (indépendante de la fonction).
  • Barjovrille
    Barjovrille
    Bonjour, autre exemple :  un ensemble fini de fonctions continues est équicontinu.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Modifié (February 2023)
    @Manda en effet, montrer que l'ensemble des fonctions lipschitziennes est équicontinu coule pratiquement de source dès qu'on écrit les définitions. Je réfléchis si c'est également borné... c'est moins évident à vérifier. EDIT : j'ai l'impression que ce n'est pas borné, tout simplement.
    @Barjovrille et il sera aussi borné pour la distance uniforme si l'on prend des fonctions définies sur $[0,1]$. Bon, ça montre qu'une partie finie est relativement compacte dans $\mathcal{C}^0$, c'est de l'artillerie lourde pour pas grand-chose je trouve. Mais c'est un exemple valable, en tout cas.
  • kalimoulox
    kalimoulox
    Modifié (February 2023)
    Bonsoir,
    une utilisation classique du théorème d'Ascoli consiste à montrer la compacité des opérateurs intégraux, autrement dit les opérateurs à noyaux du type
    $$A:f\mapsto (x \mapsto \int_\Omega K(x,y)f(y)~dy),$$ définis et à valeurs dans $C(\Omega,\R)$ par exemple, où $\Omega$ est un espace métrique compact et où le noyau $K$ est une fonction continue de $\Omega^2$ dans $\R$.
    L'image de la boule unité fermée de $C(\Omega,\R)$ par $A$ est un exemple "classique" de famille de fonctions uniformément équicontinues.
  • Manda
    Manda
    Modifié (February 2023)
    @Homo Topi Oui en effet ce n'est clairement pas ponctuellement borné.

    Autre exemple, cette fois-ci qui est bien équicontinu + ponctuellement borné. Toute collection $\mathcal{A}$ de fonctions holomorphes sur un ouvert $U\subset\mathbb{C}$ qui sont uniformément bornées, i.e $\sup_{f\in\mathcal{A}}\|f\|_{\infty}<\infty$. 
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Modifié (February 2023)
    @kalimoulox là ça rentre en plein dans l'analyse fonctionnelle que j'aurais dû comprendre en Master :D en tout cas j'ai des trucs sur les opérateurs compacts dans mes bouquins. Je regarderai ça.
    @Manda c'est lié aux espaces de Hardy ? Je connais de nom mais j'ai fait très peu d'analyse fonctionnelle complexe...
  • Manda
    Manda
    @Homo Topi Regarde plutôt du coté du Théorème de Montel.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Merci !
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