Intégrale et constante de Catalan

Fin de partie · February 2023

Comment feriez-vous pour prouver que :
\begin{align}\int_0^1\int_0^1\frac{1}{(1-xy)\sqrt{x}\sqrt{1-y}}dxdy=8\text{G}\quad?\end{align}

(j'ai une preuve mais il y a peut-être plus simple)

PS: Je ne sais pas pourquoi le code $\LaTeX$ n'est pas correctement interprété.

raoul.S · February 2023

https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2333351/probleme-daffichage-latex/p1

NicoLeProf · February 2023

Chez moi, ça marche, voici ce que je vois !

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/pn/yey7n3yc0bib.png

gebrane · February 2023

Je me suis lancé avec l'espoir de trouver

J'ai posé u égal à xy,

Et v égal à la racine de u,

Mais je me suis retrouvé face à un mur,

$4\int_0^1 \frac{\arccos v}{1-v^2}\, dv $

Une intégrale complexe, mystérieuse,

Qui me semble bien obscure,

Et que je ne sais comment rendre harmonieuse.

A moitié endormi, Je ne trouve pas la bonne voie.

Et pourtant, il est naturel de poser,

De tels changements pour avancer,

En acceptant de ne pas tout savoir,

Je savoure la beauté de l'instant présent,

Avec la certitude que G se cache dans l'intégrale de FDP.

gebrane · February 2023

LOL, c'était évident sous mon nez,

En posant w égal à arccos v,

J'ai finalement trouvé le bonheur.

Une intégrale bien connue de moi,

Que j'avais étudié dans mes années d'université,

4 fois l'intégrale de w sur sinus w,

Et j'ai souri, soulagé et émerveillé,

De voir à quel point tout était lié à la constante G

jandri · February 2023

Pour calculer $I=\displaystyle\int_0^1\int_0^1\frac{1}{(1-xy)\sqrt{x}\sqrt{1-y}}dxdy$ je pose $x=\sin^2t$ et $y=1-u^2$.

Cela donne $I=4\displaystyle\int_0^{\pi/2}\int_0^1\frac{\cos t}{\cos^2t+u^2\sin^2t}dtdu$.

Puis $I=4\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac1{\sin t}[\arctan(u\tan t)]_{u=0}^{u=1} dt=4\int_0^{\pi/2}\frac{t}{\sin t}dt$.

Par $x=\tan\frac t2$ on obtient $I=8\displaystyle\int_0^{1}\frac{\arctan x}{x}dx=8G$.

gebrane · February 2023

@Jandri Avec mon changement et le tien, on se ramène à 4 fois l'intégrale de w sur sinus w,

Fin de partie · February 2023

\begin{align}J&=\int_0^1\int_0^1\frac{1}{(1-xy)\sqrt{x}\sqrt{1-y}}dxdy\\
&\overset{u=\sqrt{x},v=\sqrt{1-y}}=4\int_0^1\int_0^1 \frac{1}{1-u^2(1-v^2)}dudv\\
&=4\int_0^1 \left[\frac{\text{arctanh}\left(u\sqrt{1-v^2}\right)}{\sqrt{1-v^2}}\right]_{u=0}^{u=1}dv=4\int_0^1 \frac{\text{arctanh}\left(\sqrt{1-v^2}\right)}{\sqrt{1-v^2}}dv\\
&\overset{z=\frac{1-\sqrt{\frac{1-v}{1+v}}}{1+\sqrt{\frac{1-v}{1+v}}}}=-8\int_0^1 \frac{\ln z}{1+z^2}dz=\boxed{8\text{G}}
\end{align}

Intégrale et constante de Catalan

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 9