Équation de type $a^2-b^2=2n+1$

Vrfss · February 2023

Bonjour, pour ce type d'équations au lycée on apprend à la résoudre en factorisant a^2-b^2 par (a-b)(a+b) pour trouver les solutions, j'ai une autre façon de trouver les solutions et je ne sais pas si elle est plus rapide la voici avec un exemple.

a^2-b^2=39
- on sait que tout nombre impair est la différence de 2 carrés consécutifs, on remplace a par b+1 et on trouve 39=2b+1, b=19 et a=20 comme a et b sont mis au carré on n'oublie pas les solutions négatives.
Pour vérifier s'il y a d'autres couples (a,b) entiers on utilise cette formule : (a-b)(2b+(a-b)) comme 39 est impair il faut que (a-b) le soit aussi on a testé avec 1 on teste avec 3, on a 39=3(2b+3) on trouve b=5 et a=8. Pour (a-b)=5 les solutions ne sont pas entières on met donc fin à la recherche et on a trouvé toute les solutions. Après pour les équations de type a^2-b^2=2n, (a-b) doit être pair.

gebrane · February 2023

Un programme pour résoudre dans Z , x²-y²=a ?

gebrane · February 2023

J'ai écris un programme et me donne en plus les solutions 20 et 19

Vrfss · February 2023

J'ai déjà cité les solutions 20 et 19 juste en haut 😅

Vrfss · February 2023

Si on ne reste pas dans Z alors on trouve une infinité de solutions. Mais ce que je voulais savoir c'était si un tel raisonnement est bon, puisque ce n'est pas comme ça qu'on enseigne à résoudre une telle équation.

etanche · February 2023

Si r un nombre rationnel donner une parametrisation rationnel de $x^2-y^2=r$

Vrfss · February 2023

Exemple : prenons r=14/3
Je choisi que a-b=1/2
J'ai donc 1/2(2b+1/2) = 14/3
Je me retrouve avec b= 53/12 et a= 59/12
Puisque a=53/12+1/2
Ainsi en changeant la différence entre a et b je peux trouver une infinité de solutions à l'équation.

scd · February 2023

Bonjour (en répondant à l'avant dernière remarque de Vrfss)
Je ne sais pas comment cela est enseigné pour trouver des solutions dans Z (car je n'ai jamais mis les pieds dans un lycée de ma vie et je ne pense pas que cela soit enseigné au collège) mais par contre un programme est très simple à écrire avec une boucle si on utilise les asymptotes de l'hyperbole car la boucle sera conditionnée par un maximum dépendant de l'une des asymptotes (notre hyperbole étant exprimée sous sa forme réduite, le programme est d'autant plus facile qu'aucune réduction vient se surajouter à l'écriture)

Vrfss · February 2023

Au lycée, enfin la où je suis on résout par exemple a^2-b^2=39 en factorisant a^2-b^2 par (a-b)(a+b) pour trouver ensuite les solutions dans Z. Mais le but n'est pas d'en faire un programme mais de trouver des solutions à la main.

gebrane · February 2023

bonjour tu fais comment avec a^2-b^2=336 avec ta méthode .

Vrfss · February 2023

Pour trouver l'ensemble des solutions je pose (a-b)(2b+(a-b))=336. Si je cherche uniquement les solutions dans Z je remplace (a-b) par les plus petits entiers pairs jusqu'à ce que b n'appartienne plus à Z, pourquoi pair car 336 est pair.
1 ère solution : 336=2(2b+2), b=83 et a=85
2 ème solution : 336= 4(2b+4), b =40 et a =44
3 ème solution : 336= 6(2b+6),b=25 et a = 31
4 ème solution : 336= 8(2b+8),b=17 et a = 25
5 ème solution : 336= 10(2b+10),b= 11,8 et a = 21,8.
b n'appartient plus à Z j'ai donc 4 couples de solutions (a,b) qui appartienent à Z pour l'équation a^2-b^2=336.

Vrfss · February 2023

Hum je vois la faille pour (a-b)=12 on a b=8 et a= 20 qui sont solutions de l'équation aussi, comment je pourrais savoir si j'ai trouvé toute les solutions avec ma méthode alors ?

gebrane · February 2023

Avec mon programme je trouve ( je donne les solutions dans $\N$, leurs opposés sont aussi des solutions)

Entrez un entier a : 336
Solution : x = 19, y = 5
Solution : x = 20, y = 8
Solution : x = 25, y = 17
Solution : x = 31, y = 25
Solution : x = 44, y = 40
Solution : x = 85, y = 83

Vrfss · February 2023

On trouve effectivement (19,5) quand on remplace (a-b) par 14 donc c'est à partir de (a-b)= 16 qu'on doit arrêter la recherche, à présent il faut que je trouve quelque chose qui justifie qu'on arête la recherche à 16 et non à 10.

gebrane · February 2023

Tu fais la décomposition en nombres premiers de 336

gebrane · February 2023

scd peux-tu donner ton programme

Vrfss · February 2023

Ça revient au final à faire 336=(a-b)(a+b) si je décompose en facteurs premiers. Peut-être qu'il faut trouver 2 solutions consécutves qui n'appartiennent pas à Z pour être sûr d'avoir trouvé toute les solutions ?

gebrane · February 2023

C'est ta méthode à toi de nous convaincre

Vrfss · February 2023

Jusqu'à preuve du contraire je dirais qu'on a trouvé tout les solutions dans Z lorsque on tombe sur 2 b consécutifs n'appartenant pas à Z. Par contre pour R ma méthode marche bien, pour π= a^2-b^2 et (a-b)=π je pose π=π(2b+π) et b =(1-π)/2 et a= (1+π)/2.

NicoLeProf · February 2023

J'ai peut-être quelque chose qui répond à ta question @Vrfss .

Si je reprends l'exemple de Gebrane avec $336$ et ta méthode.

On cherche $(a-b)$ pair et positif tel que : $(a-b)(2b+a-b)=336$ .

Je dirais qu'on a quand même besoin de décomposer $336$ en produits de facteurs premiers : $336 = 2^4 \times 3 \times 7$ .

$(a-b)$ pair signifie alors qu'il y a un facteur $2^i$ avec $1 \leq i \leq 4$ dans sa décomposition en produit de facteurs premiers.

Cela nous donne beaucoup de possibilités pour $a-b$ ($16$ : facile à voir avec un arbre).

Il faut réduire l'éventail des possibilités en cherchant les solutions positives ($a$ et $b$ positifs et il suffira de prendre les opposés pour avoir les solutions négatives).

Ainsi, on veut que $b \geq 0$ soit $2b+(a-b) \geq (a-b)$ ainsi, $(a-b)(2b+a-b) \geq (a-b)^2$ (sachant qu'on prend $(a-b) \geq 0$) donc on veut que $336 \geq (a-b)^2$ . Donc tant que $(a-b)^2 \leq 336$ i.e : $a-b \leq \sqrt{336}$, on pourra tester si on a une solution et on s'arrêtera quand $a-b > \sqrt{336}$ .

En pratique maintenant : $\sqrt{336} \approx 18,3$ donc on va tester $a-b$ jusqu'à $18$ .

On doit donc tester les possibilités pour $a-b$ dans $\{2 ; 2^2 ; 2^3 ; 2^4 ; 2 \times 3 ; 2 \times 7 ; 2^2 \times 3 \}$ i.e : $\{2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 14 ; 16\}$ .

Seul le cas $a-b=16$ dysfonctionne car $2$ ne divise pas $a+b$ dans ce cas donc $a+b$ n'est pas entier.

Si tu ne décomposes par $336$ en produit de facteurs premiers, tu peux en effet ajouter $10$ dans la liste des nombres à tester mais c'est "dommage" car on voit directement que ce n'est pas possible.

NicoLeProf · February 2023

Une remarque d'ailleurs : si je ne m'abuse, l'équation : $a^2-b^2=c$ n'a pas de solution dans le cas où $c$ est pair mais non multiple de $4$ .

En effet, si $c$ est pair, alors $2$ divise $a-b$ ou $a+b$ mais si $2$ divise l'un des deux ($a-b$ ou $a+b$), $2$ divise l'autre donc $(a-b)(a+b)$ est divisible par $4$ dans ce cas.

gebrane · February 2023

Nice Le prof +1

Vrfss · February 2023

Oh d'accord je comprends, je pensais pouvoir me passer de la décomposition en facteurs premiers pour aller plus "vite" avec ma méthode dommage.

Vrfss · February 2023

Autre question est-ce qu'il y a plus de solutions dans R pour a^2-b^2=c que dans C ? Puisque dans R les solutions peuvent être négatives, élevées au carré elle seront toujours positives mais ce n'est pas toujours le cas dans C.

gebrane · February 2023

Je ne comprends pas ta question, un nombre réel est en particulier un nombre complexe

Vrfss · February 2023

Un nombres complexe au carré peux être négatif mais pas un nombres réel il doit y avoir des solutions en plus en ou en moins pour une équation de type a^2-b^2=c ou pas ?

gerard0 · February 2023

"... un nombre réel est en particulier un nombre complexe".

On a le droit de penser, face à une réponse.

visiteur · 12 Feb

etanche a dit :

Si r un nombre rationnel donner une parametrisation rationnel de $x^2-y^2=r$

$\begin{aligned} & x^2-y^2=r \\ & (x-y)(x+y)=r\end{aligned}$
il existe $s \in \mathbb{Q}^*$, $\quad\left\{\begin{array}{l}x-y=\dfrac{r}{s} \\ x+y=s\end{array}\right.$
donc $\ \left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{s^2+r}{2 s} \\ y=\dfrac{s^2-r}{2 s}\end{array}\right.$

Équation de type $a^2-b^2=2n+1$

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