Un octogone

kolotoko · February 2023

Soient, dans le plan muni d'un repère orthonormé, les huit points :
A(x, y) ; B(z, t) ; C(z, -t) ; D(x, -y) ; E(-x, -y) ; F(-z, -t), G(-z, t) ; H(-x, y) .
On a AB = 19 ; AC = 41 ; AG = 61.
Calculer x, y, z, t .

Bien cordialement.
kolotoko

NicoLeProf · February 2023

J'ai cherché, j'ai trouvé que $x$, $y$, $z$ et $t$ sont tels que $yt=330$ ; $xz=840$ et $x^2+z^2+t^2+y^2=2701$ .
Je me suis demandé s'il y a des solutions entières. J'ai décomposé $330$ et $840$ en produit de facteurs premiers.
$330 = 2 \times 3 \times 5 \times 11$ et $840 = 2^3 \times 3 \times 5 \times 7$ .
Ainsi, $3$ divise $y$ ou $t$ mais pas les deux et c'est pareil pour $x$ et $z$.
Donc, parmi les quatre inconnues, $2$ exactement sont divisibles par $3$ et les deux autres non.
Ainsi, pour les carrés, deux des carrés (exactement) ne peuvent être congrus qu'à $1$ modulo $3$ (et les deux autres carrés sont divisibles par $3$) donc $x^2+z^2+t^2+y^2 \equiv 2 \pmod 3$ mais $2701 \equiv 1 \pmod 3$ ).
Donc il n'y a pas de solutions entières (les nombres $x$, $y$, $z$ et $t$ ne sont pas tous entiers).
C'est tout ce que j'ai pour le moment ! Désolé ! ^^'

NicoLeProf · February 2023

Avec un logiciel de calcul formel, je trouve : $x=40$ ; $y=t=\sqrt{330}$ et $z=21$ (ce ne sont pas les seules solutions) . J'ai vérifié à la main, ça fonctionne.

Je ne parviens pas à le démontrer mathématiquement pour le moment. Je trouve des choses un peu incohérentes en résolvant mes équations. Je vais encore y réfléchir... !

kolotoko · February 2023

Bonjour,
merci à NicoLeProf pour ses réponses.
Mon énoncé est incomplet.
Je devrais sûrement rajouter certaines conditions comme
Les coordonnées x, y, z, t sont positives.
L'octogone ABCDEFGH se lit dans le sens des aiguilles d'une montre et est un ''vrai'' octogone convexe.
Ce qui n'est pas le cas de l'octogone proposé dans le message précèdent.
D'ailleurs, j'aurais plutôt envisagé A(21, 18,1659...), B(40, 18,1659...) où 18,1659... est la racine carrée de 330.
Dans le même genre d'octogone mal foutu : A(28, 98... , 30) ; B( 28,98... , 11 ), où 28,98... est la racine carrée de 840.
Il y d'autres solutions.
Bien cordialement.
kolotoko

kolotoko · February 2023

Bonjour,

il est facile de vérifier que :
AB = CD = EF = GH = 19 ;
AC = BD = HF = EG = 41 ;
AG = BH = CE = DF = 61;
AF = BE = CH = DG = 71.

Bien cordialement.
kolotoko

kolotoko · February 2023

Bonjour,
avec un logiciel de calcul formel on visualise les solutions de l"équation x^2 + y^2 + (840/x)^2 + (330/y)^2 = 2701.
On obtient 4 patatoïdes (sortes d'ovales) ; situés chacun dans un cadran du repère.
Pour calculer des couples (x,y) ; (z,t) il faut se donner une condition supplémentaire comme par exemple y = t ; x = z ou encore x = y.
Si on ajoute la condition x^2 + y^2 = z^2 + t^2 , les huit points A, B, C, D, E, F, G, H sont cocycliques et l'octogone est inscriptible.
Bien cordialement.
kolotoko

kolotoko · February 2023

Bonjour,

quand l'octogone ABCDEFGH est inscriptible on trouve :

x = 24,16382443, y = 27,68771549, z = 34,76270913, t = 11,9864313 .

Bien cordialement.

kolotoko

NicoLeProf · February 2023

En effet, je vois bien l'intérêt d'ajouter comme condition supplémentaire : $y=t$ . Ce qui donne comme valeurs par exemple : $x=40$ ; $y=t=\sqrt{330}$ et $z=21$ .

Tu as les valeurs exactes quand $ABCDEFGH$ est inscriptible?

kolotoko · February 2023

oui.

un peu plus tard...

kolotoko · February 2023

Bonjour,
voici les valeurs exactes de x^2, y^2, z^2, t^2 pour l'octogone inscriptible.
x^2 = 24*24*74/73 = 42624/73
y^2 = 55*55*74/(4*73) = 111925/146
z^2 = 35*35*146/(4*37) = 89425/74
t^2 = 36*146/37 = 5256/37

On a :
x^2 + y^2 = 1350,5
z^2 + t^2 = 1350,5
x^2*z^2 = 3811651200/(73*74) = 705600 = 840^2
y^2*t^2 = 588277800/(146*37) = 108900 = 330^2

Bien cordialement.
kolotoko.