Deux Bernoulli indépendantes ?

P.2 · February 2023

Soit la va $(X,Y)$ à valeurs dans $\{0,1\}^2$ telle que pour tout $z$ complexe on a $$\mathbb{E}(z^{X+Y})=\mathbb{E}(z^{X})\mathbb{E}(z^{Y}).$$ Est-ce que $X$ et $Y$ sont nécessairement indépendantes ?

marco · February 2023

Si $z=0$, on obtient $P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0)$. $(1)$

Si $z=i$, on obtient $P(X=0,Y=0)-P(X=1,Y=1)+ i(P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0))=(P(X=0)+iP(X=1))(P(Y=0)+iP(Y=1))$, donc c'est aussi $P(X=0)P(Y=0)-P(X=1)P(Y=1)+i(P(X=1)P(Y=0)+P(X=0)P(Y=1))$. Donc en regardant la partie réelle, et en tenant compte de l'égalité $(1)$, on trouve $P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1)$.

Par ailleurs, $P(X=0,Y=1)=P(X=0)-P(X=0,Y=0)=P(X=0)(1-P(Y=0))$ d'après $(1)$. Donc c'est égal à $P(X=0)P(Y=1)$.

De même, $P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0)$.

Donc $X$ et $Y$ sont indépendantes.

LOU16 · February 2023

Bonsoir,

$a:=\mathbb P(X=0,Y=0) ,\quad b:=\mathbb P(X=0,Y=1),\quad c:=\mathbb P(X=1,Y=0),\quad d:=\mathbb P(X=1,Y=1).$

$\mathbb E(z^{X+Y}) = \mathbb E(z^X)\mathbb E(z^Y)\iff \forall z \in \C ,\:\:a+(b+c)z+dz^2=\left((a+b)+(c+d)z\right)\left((a+c)+(b+d)z\right)\iff$

$$\left\{\begin{array}{cclr} a&=&(a+b)(a+c)&\hspace{2cm}(1)\\b+c&=&(a+c)(c+d)+(a+b)(b+d)&(2)\\d&=&(b+d)(c+d)&(3) \end{array}\right.$$

$(1)$ et $(3)$ s'écrivent respectivement: $\:\mathbb P(X=0,Y=0) = \mathbb P(X=0)\mathbb P(Y=0),\quad \mathbb P(X=1,Y=1) = \mathbb P(X=1)\mathbb P(Y=1).$

Cela assure l'indépendance de $X$ et de $Y$.

PS $\mathbb P(X=0,Y=1)=\mathbb P(X=0)-\mathbb P(X=0,Y=0)=\mathbb P(X=0)[1-\mathbb P(Y=0)]=\mathbb P(X=0)\mathbb P(Y=1).$

P.2 · February 2023

Ingénieux, marco, l'usage de $z=i$.

bisam · February 2023

Lorsque deux évènements $A$ et $B$ sont indépendants alors $A$ et $\bar{B}$ le sont aussi.

Par conséquent, si l'on démontre que les évènements $(X=0)$ et $(Y=0)$ le sont alors $(X=0)$ et $(Y=1)$ le sont aussi car $Y$ suit une loi de Bernoulli, et de même pour $(X=1)$ et $(Y=0)$ puis $(X=1)$ et $(Y=1)$.

Donc il suffit de prouver que $(X=0)$ et $(Y=0)$ sont indépendants pour avoir les variables $X$ et $Y$ indépendantes, ce qui est assuré par l'égalité en $z=0$.

Positif · February 2023

Est-ce vrai pour $n$ variables de Bernoulli ?

[Bernoulli ne prend pas de 'i' avant ses deux 'l'. AD]

guiguiche · February 2023

Cela ne fonctionne qu'avec seulement deux variables de Bernoulli.

P.2 · February 2023

Bon c’était un peu facile. Plus rusé : soit (X,Y) une va de N^2 telle que X+Y<5 et E(z^{X+Y})=E(z^X)E(z^Y) pour tout z complexe. Montrer que X et Y ne sont pas nécessairement indépendantes.

Qu'arrive-t-il au latex du forum ?

LOU16 · February 2023

Bonjour P2

J'ai vu que tu avais modifié l'énoncé initial (qui , avec $X+Y<4,$ était erroné) et ai fini par bricoler ça : $X(\Omega)=Y(\Omega) =\{0;1;2\}$

$\forall i,j \in\{0,1,2\},\ p_{ij} = \mathbb P(X=i,Y=j), \ P_i=\mathbb P(X=i),\ Q_i=\mathbb P(Y=i) \quad P=(p_{ij})_{0\leqslant i,, j\leqslant 2}.$

$$P =\begin{pmatrix}0.02&0.11&0.07\\0.04&0.18&0.08\\0.04&0.31&0.15\end{pmatrix}$$

$P_0=0.2,\:P_1=0.3,\:P_2=0.5,\quad Q_0=0.1,\:Q_1=0.6,\:Q_2=0.3.$

$P_1Q_0\neq p_{10},\: $ donc $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes, et les relations $\left\{\begin{array}{l}p_{00}=P_0Q_0=0.02\\p_{01}+p_{10}=P_0Q_1+P_1Q_0=0.15\\p_{02}+ p_{11}+p_{20}=P_0Q_2+P_1Q_1+P_2Q_0=0.29\\p_{12}+p_{21}=P_1Q_2+P_2Q_1=0.39\\p_{22}=P_2Q_2=0.15\end{array}\right.$

font que:$\:\forall z \in\C ,\ \mathbb E(z^{X+Y} ) =\mathbb E(z^X)\mathbb E(z^Y).$

bisam · February 2023

Faute de frappe, j'imagine : $p_{20}=0.04$ et non $0.4$.

P.2 · February 2023

Tout à fait, LOU16. Voici ma solution : on pose R(x,y)=x-x^2-y+y^2-xy^2+x^2y, qui satisfait R(x,1)=R(1,y)=R(x,x)=0. Si P(x)=P_0+P_1x+P_2x^2=E(x^X), et Q(y)=Q_0+Q_1y+Q_2y^2=E(y^Y) et la loi jointe de X,Y définie par P(x)Q(y)+cR(x,y)=E(x^Xy^Y) avec c assez petit. Ta solution est le cas particulier P(x)=0,1+0,6 x+0,3x^2, Q(y)=0,2+0,3 y+ 0,5 y^2, et c=0,01.

LOU16 · February 2023

Bonjour BIsam,

Oui , en effet. Merci.

Deux Bernoulli indépendantes ?

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Bonjour!

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