Convergence presque sûre

bd2017 · February 2023

Pas du tout à mon avis.

Pour Q1. Tu peux utiliser les rappels de l'énoncé (ligne 3 à 5 ).

$ [|X|<\epsilon]=X^{-1} (]-\epsilon,\epsilon[)\in \cal{A} $ (image réciproque d'un intervalle.. )

Ensuite tu dis que $\cal{A}$ étant stable par intersection dénombrable et union dénombrable alors $B(\epsilon)$ est dans $\cal{A}.$

C'est largement suffisant. A la limite concernant la stabilité par intersection dénombrable, ce n'est pas rappelé dans l'énoncé, tu peux ajouter l'explication..

Je suis un peu étonné de tes difficultés à rédiger car tu as dit que tu était agrégé.

LeVioloniste · February 2023

Re,
je suis toujours agrégé, mais j'ai du mal à bien rédiger. Je veux du top !

Q1.
$\mathcal{A}$ sont les parties mesurables de l'espace $(\Omega, \mathcal{A})$. C'est un espace mesurable. Ensuite cet ensemble $\mathcal{A}$ est inclus dans $\mathcal{P}(\Omega)$.
$[|X_n|>a]= [ X_n >a] \cup [X_n < -a]$. Posons $A=[ X_n >a]$. On traitera $B=[X_n < -a]$ de la même manière
Montrons que $A \in \mathcal{A}$

D'après l'énoncé : $\forall w \in \Omega, X_n(w) > \epsilon \Leftrightarrow \forall w \in \Omega, X_n(w) \in ]\epsilon, +\infty[ \Leftrightarrow X_n^{-1}(]\epsilon, +\infty[) \in \mathcal{A}$.

Or $\mathcal{A}$ est une $\sigma$-algèbre, ou une tribu.
En reprenant la définition d'une tribu, la partie vide appartient à $\mathcal{A}$, et le passage au complémentaire de $A$ est dans la tribu. La stabilité par réunion dénombrable n'est pas à vérifier pour cet évènement car il est élémentaire.

L'énoncé permet d'éviter cette argumentation.

Ensuite $\cap_{n=k}^{n=+\infty} [|X_n|<\epsilon]$ est un évènement car il y a stabilité par intersection dénombrable.

En effet, avec la formule de De Morgan on a $(\cup_{i \in I} A_i)^c=(\cap_{i \in I} (A_i)^c)$ sur un ensemble d'indices $I$ dénombrable, on a que la stabilité par réunion dénombrable est équivalente à la stabilité par intersection dénombrable.

Enfin $\cup_{k=0}^{k=+\infty} \cap_{n=k}^{n=+\infty} [|X_n|<\epsilon]$ est une réunion dénombrable d'évènements par propriété d'une tribu. Il est donc un évènement.

Donc $B(\epsilon)$ est bien dans $\mathcal{A}$.

LeVioloniste · February 2023

Q2.
C'est intuitif mais difficile à justifier.
J'ai envie d'utiliser la définition de la limite de la suite $(X_n)$.
$\forall \epsilon > 0, \exists k \in \mathbb{N}, n \geq k \Rightarrow |X_n| < \epsilon$.
Je passe aux écritures ensemblistes.

Avec les ensembles, l'existence correspond à la réunion, le qqs pour tout à l'intersection :
$\cap_{\epsilon>0} \cup_k \cap_{n \geq k} \{w \in \Omega\ ;\ |X_n(w)| < \epsilon \} = \cap_{\epsilon>0} B(\epsilon) = \mathcal{C}$.
Cela me semble clair.

Y-a-t-il des améliorations ?

gebrane · February 2023

Si tu connais la définition d'une limite avec les epsilons il n' y a presque rien à justifier

LeVioloniste · February 2023

@gebrane tu as du écrire quand je tapais mes réponses.

LeVioloniste · February 2023

Q3a

Si $\epsilon < \epsilon'$, alors $[|X_n| < \epsilon] \subset [|X_n| < \epsilon']$ puis par réunion et intersection $B( \epsilon) < B(\epsilon')$.

Que dire de plus ? Dois-je détailler pour les intersections puis les réunions ?

gebrane · February 2023

Passe à la Q3 ( Il manque une quantification dans $\forall \epsilon > 0,\ \exists k \in \mathbb{N},\ n \geq k \Rightarrow |X_n| < \epsilon$

LeVioloniste · February 2023

Q3b.
Comme $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$, $\forall \epsilon >0, \epsilon'>0, \epsilon < \epsilon', \exists p \in \mathbb{N}, \epsilon < \frac{1}{p} < \epsilon'$. Donc $B( \epsilon) \subset B(\frac{1}{p}) \subset B( \epsilon')$ avec la question précédente.

Là c'est le passage aux intersections qui pêche, ce ne sont pas sur la même lettre ...

Je ne pense pas avoir le droit d'écrire : $\cap_{\epsilon>0} B( \epsilon) \subset \cap_{p>0} B(\frac{1}{p}) \subset \cap_{\epsilon'>0} B( \epsilon')$. Sinon c'est la réponse attendue $\mathcal{C}=\cap_{p>0} B(\frac{1}{p})$ car $\cap_{\epsilon>0} B( \epsilon)=\cap_{\epsilon'>0} B( \epsilon')$.

LeVioloniste · February 2023

Je reprends
$\forall \epsilon > 0,\ \exists k \in \mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\ n \geq k \Rightarrow |X_n| < \epsilon$.
$\cap_{\epsilon>0} \cup_k \cap_{n \geq k} \{w \in \Omega\ ;\ |X_n(w)| < \epsilon \} = \cap_{\epsilon>0} B(\epsilon) = \mathcal{C}$.

LeVioloniste · February 2023

Q3c.
Je vois l'idée : $\mathcal{C} = \cap_{\epsilon>0} B(\epsilon)$ n'est pas une réunion dénombrable car $\mathbb{R}$ n'est pas dénombrable.
La nouvelle écriture : $\mathcal{C} =\cap_{p>0} B(\frac{1}{p})$ est une réunion dénombrable car $\mathbb{N}^*$ est dénombrable.
Or $B(\frac{1}{p})$ est un évènement implique $\cap_{p>0} B(\frac{1}{p})$ est un évènement par intersection dénombrable.

LeVioloniste · February 2023

Q4a
Je pose $E_k(\epsilon)=\cup_{n=k}^{n=+\infty} [|X_n| \geq \epsilon]$
Clairement $E_k$ est une suite décroissante de $k$.
On a la propriété $\mathbb{P}(\cap_{k=1}^{k=+\infty} E_k(\epsilon))= \lim_{k \mapsto +\infty} \mathbb{P}(E_k(\epsilon))=0$

Mais c'est la question suivante ..., alors je ne comprends pas.
Ou alors je prends les questions précédentes et je constate que : $(\cap_{k=1}^{k=+\infty} E_k(\epsilon))^c=(\cap_{k=1}^{k=+\infty} \cup_{n=k}^{n=+\infty} [|X_n| \geq \epsilon])^c=B(\epsilon)$.
Dans cette question, $\mathbb{P}(C)=1 \Rightarrow \forall \epsilon > 0, \mathbb{P}(B(\epsilon))=1$.
En passant au complémentaire, $\mathbb{P}(E_k(\epsilon))=0$.

LeVioloniste · February 2023

Q4b
Si $(A_k)_k$ est une suite décroissante de $k$ alors $\mathbb{P}(\cap_{k=1}^{k=+\infty} A_k)= \lim_{k \mapsto +\infty} \mathbb{P}(A_k)$ est une question de cours ?

bd2017 · February 2023

LeVioloniste a dit :
je suis toujours agrégé, mais j'ai du mal à bien rédiger. Je veux du top !
Q1.
$[|X_n|>a]= [ X_n >a] \cup [X_n < -a]$. Posons $A=[ X_n >a]$. On traitera $B=[X_n < -a]$ de la même manière
Montrons que $A \in \mathcal{A}$

Pour du top c'est un peu hyper délayé (à mon goût) et en tout cas un peu hors sujet: que vient faire $[|X_n|>a]$ alors qu'on s'intéresse à $[|X_n|<\epsilon ]$ ?

Pourquoi changer l'inégalité et aussi le nom $a$ à la place de $\epsilon$ ?

Q2 tu as ajouté les quantificateurs Ok. Mais tu as pris le contrepied de Q1, c'est hyper concis donc on ne peut pas dire que c'est faux mais une petite phrase explicative serait le bien venu. En effet, si tu donnes ça à manger un élève, je pense qu'il aura un mal fou à comprendre.

gebrane · February 2023

LeVioloniste a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2410097/#Comment_2410097

Q3b.
Comme $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$, $\forall \epsilon >0, \epsilon'>0, \epsilon < \epsilon',\ \exists p \in \mathbb{N},\ \epsilon < \frac{1}{p} < \epsilon'$.

Commettre ce genre d'imperfections est alarmant (Je te donne $\epsilon= 2$ et $\epsilon'=3$, trouve moi cet entier p). Je te conseille vivement de suivre le conseil de @raoul.S.

LeVioloniste · February 2023

Ce que j'ai écrit c'est que j'ai de forts doutes pour Q3b. Je n'ai pas encore trouvé la bonne idée pour résoudre la question. Cela me semblait foireux bien que tentant.

gebrane · February 2023

LeVioloniste a dit :

Je n'ai pas encore trouvé la bonne idée

Je t'offre une idée

pour démontrer que $\mathcal{C} =\cap_{p>0} B(\frac{1}{p})$
(mais si tu veux la bonne idée, tu la demandes auprès de Jlapin, bd ou raoul et pourquoi pas alexique (j'aime bien son style, la classe)).

il suffit de démontrer l'équivalence entre (1) et (2)
(1) $ \forall \R^*_+,\ \exists k \in \mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\quad n \geq k \Rightarrow |X_n| < \epsilon$
(2) $ \forall p\in\N^*,\ \exists k \in \mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\quad n \geq k \Rightarrow |X_n| < \frac 1p$.

Le sens direct est immédiat, je te laisse traiter sans trop de bêtises l'autre sens.

LeVioloniste · February 2023

Oui j'avais l'idée du $\epsilon<1/p$ pour un sens mais je cherchais une méthode expéditive qui n'existe pas.

aléa · February 2023

Il serait peut-être plus simple de commencer par montrer qu'avec probabilité 1, la suite $(X_n)$ prend toutes ses valeurs dans $\{0,1\}$.

En effet, ensuite, quand on a une suite de nombres entiers, converger vers $0$, c'est très exactement être égal à $0$ à partir d'un certain rang, et Borel-Cantelli rapplique immédiatement.

gebrane · February 2023

Quelle belle surprise, @alea est revenu. Je m'en réjouis.

LeVioloniste · February 2023

Que penser de ceci : Je fixe $\epsilon$.
$\exists p_0 \in \mathbb{N}, \ p \geq p_0 \Rightarrow 1/p \leq \epsilon$. Donc (2) $ \Rightarrow$ (1).

Pour (1) $\Rightarrow$ (2) je construis la suite $\epsilon_p=1/p$ qui converge vers 0 et je réécris le (1) en faisant apparaître $p$.

Concernant @Alexique il a plein de posts sans réponse ...
Cela est-il convainquant ?

@aléa le lemme de Borel Cantelli concerne une série $\sum_n \mathbb{P}(A_n)$ selon qu'elle converge ou non ... Donc à un moment on prend la proba d'une réunion d'évènements, ici on a une intersection de $B(\epsilon)$ donc je me sens dépassé par ce que tu dis.

gebrane · February 2023

Tu as un gros problème avec les quantificateurs.

Puisque $\R$ est archimédien $\forall \epsilon>0,$ il existe $p\in \N^*$ tel que $ p>\frac 1{\epsilon}$ autrement dit $ \frac 1p <\epsilon$

LeVioloniste · February 2023

@gebrane je ne vois pas ce qui est faux quand j'écris :
$\forall \epsilon>0, \ \exists p_0 \in \mathbb{N},\ p \geq p_0 \Rightarrow 1/p \leq \epsilon$ par décroissance de la suite.

gebrane · February 2023

Je n'aime pas qu'on ne respecte pas un grand membre du forum comme @Alexique vu ces contributions de qualité pour aider les autres. Je sors aussi du fil et bonne chance avec tes contradictions sans fins.

aléa · February 2023

Ce que je veux dire, c'est que si je pose $\Omega'=\{\forall n\ge 1; X_n\in\{0,1\}\}$, on a $\{X_n\to 0\}\cap \Omega'=\{\exists N,\forall n\ge N, X_n=0\}\cap \Omega'$ (il n'y a pas de probas, c'est de l'analyse).

Et comme $P(\Omega')=1$ (là il y a des probas), $P(X_n\to 0)=P(\exists N,\forall n\ge N, X_n=0)$, et là, les lemmes de Borel-Cantelli sont très bienvenus.

LeVioloniste · February 2023

@gebrane merci pour ta contribution. J'ai bien avancé ! Quand tu parles d'Alexique j'ai du mal à te comprendre, je disais que personne n'a répondu à certaines de ses questions, les questions qu'il a posées sur ce forum ; je ne vois pas le problème. C'est entre lui et moi.

Voilà je vais me débrouiller tout seul pour finir. Je pense que tout le monde en a marre.

LeVioloniste · February 2023

@aléa je vais réfléchir à ce que tu dis .... Je ne vais pas me précipiter pour essayer de bien comprendre.

Alexique · February 2023

Comme je suis mentionné, je me permets d'intervenir.

Le fait que mes topics restent ou pas sans réponse n'a pas grand rapport avec la qualité de mes interventions dans tes topics @LeVioloniste. Je laisse le soin aux autres de discuter la qualité de mes réponses, je ne suis pas parfait (et je m'impatiente vite, je le reconnais) mais je pense essayer de tout faire pour te mener sur le bon chemin sans succès. Tu ne suis pas les indications et le cours n'est pas su, tu attends qu'on te fasse la question et c'est ce qui se passe. Visiblement, tu ne sais rien sur les espaces mesurés, la théorie de la mesure, les boréliens,... notions nécessaires avant de parler d'espaces probabilisés et de commencer à faire sérieusement des probas. Mais de toute façon, l'énoncé donnait toutes les propriétés à utiliser ($X^{-1}(I)\in \mathcal{A}$...) et tu ne l'as pas vu.

Les topics que j'ouvre n'ont rien de très scolaires (je suis en thèse) donc n'attendent pas une réponse unique à un problème bien posé contrairement à un étudiant cherchant à valider ces unités ou à quelqu'un proposant des exercices d'applications du cours. Je ne vois, dans mon cursus actuel, que cette utilisation du forum de pertinente depuis ces quelques dernières années et ça me va très bien. Je suis par ailleurs un peu tenu par le secret des mes travaux et cela me contraint à reformuler mon problème de manière plus concise ou plus simple et alors, la réponse que j'obtiens en conséquence est logiquement un peu vague par rapport à mes attentes et c'est bien normal. Voilà, je ne pense pas devoir me justifier davantage. Tout le monde a le droit de créér des topics, de répondre ou de ne pas répondre et je n'ai pas à me justifier davantage. Tu as le droit de ne pas aimer mes réponses mais ce sont mes réponses. Peut-être que le côté virtuel du forum me donne un air plus aggressif que je ne le suis en réalité et que j'ose davantage te bousculer, c'est possible. Ca reste dans l'optique de te faire progresser et de te rendre plus autonome.

Positif · February 2023

LeVioloniste a dit :

@aléa je vais réfléchir à ce que tu dis .... Je ne vais pas me précipiter pour essayer de bien comprendre.

Si $(X_n)_n$ vérifie la propriété suivante : \[ \sum_n \mathbf{P} ( |X_n| > a ) < +\infty \] pour tout $a > 0$.
Tu peux me montrer que $ ( |X_n| )_n $ converge presque sûrement vers $0$ ?

LeVioloniste · February 2023

Je fais ' Attention' car Aléa est M O.Garret. Je ne le connais pas mais il me rappelle mes professeurs au CMI à Luminy Marseille. En préparation agrégation mes professeurs , qu'il doit connaître pour certains estimaient que l'agrégation est un niveau en mathématiques moyen et minimal pour faire de 'vraies' mathématiques. D'ailleurs quand ils corrigeaient pour nous entraîner des sujets d'ENS ou d'agreg cela avait l'air facile pour eux.

Donc je ne dirai pas de bêtises à ce grand professeur...