La consistance de ZFA

Bonjour à tous,

Une fois de plus je suis em…bêté. Je travaille actuellement sur ZFA, Zermelo-Fraenkel with Atoms. Le langage comporte un prédicat unaire additionnel At, où on interprète $At(x)$ par "$x$ est un atome". Chose qui surprendra tout le monde, on définit aussi le prédicat set par

$$set(x) \equiv_{df} \neg At(x).$$

Dès l'instant qu'il y a au moins un atome l'axiome d'extensionnalité sous sa forme usuelle devient faux, puisque l'atome a les mêmes éléments que $\emptyset$, i.e. aucun. On doit donc modifier les axiomes comme suit.

Axiome d'extensionnalité faible :

$$\forall x \forall y [(set(x) \land set(y) \land \forall z (z \in x \Leftrightarrow z \in y)) \Rightarrow x=y].$$

Axiome de l'ensemble vide : $\exists x [set(x) \land \forall y (y \notin x)]$.

On a également besoin d'un axiome qui dit que les atomes sont vides.

Axiome des atomes : $\forall a [At(a) \Rightarrow \forall x (x \notin a)]$.

Dans certains cas il est opportun de supposer l'existence d'un ensemble d'atomes, ce qu'on appellera l'"axiome de petitesse". (La terminologie est de moi).

Axiome de petitesse : $\exists X [set(X) \land \forall a (a \in X \Leftrightarrow At(a))]$.

Cependant, dans certains cas on peut aussi être amenés à considérer des modèles avec une classe propre d'atomes. Mais pour l'instant on va travailler avec les quatre axiomes ci-dessus. Les autres axiomes de ZF demeurent inchangés. En particulier l'axiome de fondation assure que tout ensemble non vide a un élément $\in$-minimal, mais la nouveauté ici est que cet élément peut être un atome. Par exemple, si $a$ est un atome, l'axiome de la paire assure l'existence de l'ensemble $\{a\}$, et l'élément minimal de cet ensemble est $a$. Bien sûr, dans ce contexte l'axiome de fondation n'est plus équivalent à dire que la hiérarchie des $V_\alpha$ remplit l'univers : ce résultat est faux dès l'instant qu'il y a au moins un atome. En lieu et place on va définir d'autres hiérarchies cumulatives, mais auparavant il nous faut modifier légèrement la définition des ordinaux.

Définition : Un ordinal est un ensemble transitif, bien ordonné par la relation $\in$, et ne contenant aucun atome comme élément : $\forall \alpha [\mathbb{ON}(\alpha) \Rightarrow set(\alpha)]$.

Ceci étant fait, on peut maintenant définir une hiérarchie cumulative à partir de n'importe quel ensemble $S$.        

$P^0(S)=S$.

$P^{\alpha+1}(S)=P^\alpha(S) \cup \mathscr P(P^\alpha(S))$.

$P^\lambda(S)=\bigcup \limits_{\alpha < \lambda} P^\alpha(S) \text{ si } \lambda \text{ est limite}$

$P^\infty(S)=\bigcup \limits_{\alpha \in \mathbb{ON}} P^\alpha(S)$.         

On remarquera que par rapport à la définition classique on a légèrement modifié la formulation du cas successeur : d'habitude on prend simplement $P^{\alpha+1}(S)= \mathscr P(P^\alpha(S))$. La raison de cette modification est que s'il y a des atomes dans $S$ on les perdrait à la première étape si on posait $P^1(S)= \mathscr P(S)$ (puisqu'on ne prendrait que des sous-ensembles de $S$). Mais avec la définition ci-dessus on conserve les atomes initiaux "éternellement".

Maintenant, deux cas particuliers intéressants se présentent : si $S= \emptyset$, $P^\infty(\emptyset)$ nous donne l'univers habituel, et on se retrouve dans ZF. Le second cas intéressant est celui où $S=A$, $A$ étant l'ensemble des atomes, qui existe par l'axiome de petitesse.

Lemme : Avec les notations ci-dessus, $P^\infty(A)=V$.

Preuve : Il suffit d'adapter la preuve du théorème qui dit que l'axiome de fondation entraîne que la hiérarchie cumulative remplit l'univers.

On peut donc construire itérativement le monde des ensembles à partir des atomes. Bien entendu, si $A= \emptyset$, on retrouve ZF. Mais si $A \neq \emptyset$, on peut définir le noyau comme étant la classe $K=P^\infty(\emptyset)$. Il est clair que $(K, \in)$ est modèle de ZF. On a ainsi démontré que la consistance de ZFA $+$ "Il existe au moins un atome" entraîne la consistance de ZF. On va voir que la réciproque est vraie, et en fait on peut même démontrer un peu mieux.

La suite est empruntée au Jech : « Set Theory », page 250.

Lemme : La théorie ZFA $+$ AC $+$ "Il existe une infinité d'atomes" est consistante relativement à ZFC.

Preuve : 1) On va construire un modèle de cette théorie. Soit $C$ un ensemble infini d’ensembles de même rang.

OK, ça existe, par exemple $C=V_{\omega+1} \setminus V_\omega$, où tous les ensembles ont pour rang $\omega$.

2) De cette façon on a $X \notin TC(Y)$ pour tous $X,Y \in C$, où $TC$ désigne la clôture transitive.

OK, on sait que $$TC(Y)= Y \cup \bigcup Y \cup \bigcup \bigcup Y \cup...$$

et, pour des raisons évidentes de rang, on ne peut avoir ni $X \in Y$, ni $X \in \bigcup Y$, ni $X \in \bigcup \bigcup Y$ etc.

3) Considérons un $X_0 \in C$ comme l’ensemble vide, et les autres $X \in C$ comme des atomes. On construit alors le modèle à partir de $C$ en itérant l’opération $P^*(Z)= \mathscr P(Z) \setminus \{\emptyset\}$.

C’est à partir de là que je ne comprends plus. Je suppose que sa construction consiste à poser $R_0=C$, $R_{\alpha+1} = P^*(R_\alpha)$ et $R_\lambda =$ la réunion pour les ordinaux limites. Mais comment s’assurer que $R_\infty$, i.e. la réunion de tous ces bazars, est modèle de ZFA + AC ? D’abord, comment définit-on la relation d’appartenance dans le modèle ? Et qu’est-ce qu’on en a à faire que dans $C$, aucun élément n’appartienne à la clôture transitive d’un autre ?

Merci d’avance si quelqu’un a des connaissances là-dessus… et désolé pour les 3 kilomètres de ce fil.

Martial