Unique élément maximal=plus grand élément ?

Non, par exemple, si $A=\N \cup \{x\}$ avec $x>0$, mais $x$ non comparable avec les entiers supérieurs ou égaux à $1$, alors il n'y a pas d'élément plus grand que $x$. C'est l'unique élément maximal, mais $x$ n'est pas plus grand que les entiers de $\N$.
À moins que $E$ soit totalement ordonné.