Topologie Initiale

Snobi · February 2023

Bonjour,

Soit $E$ ensemble, soit $(F,\mathcal T_F)$ un espace topologique et soit $\mathcal A \subset F^E$

Notons par $\mathcal T_E$ la topologie initiale associée à $\mathcal A$.

On sait que $\forall f \in F^E, \quad f \in \mathcal A \implies f \text{ est continue}$

A-t-on l'inverse ?
Si oui, la démonstration de ceci sera immédiate. (H.Bresiz - Analyse fonctionnelle 1983)

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/op/29d69t12iamp.png

Merci, et bonne journée.

Alesha · February 2023

Bonjour
Ne peut-on pas considérer une fonction constante $f$ telle que $f \notin \mathcal{A}$ ?

Barjovrille · February 2023

Bonjour,
@Alesha on n'a pas beaucoup d'infos sur $\mathcal{A}$ si $\mathcal{A}$ contient toutes les fonctions constantes on ne peut pas faire comme tu as dit.
Mais dans le cas particulier de la proposition cité par Snobi c'est effectivement un contre-exemple.

Georges Abitbol · February 2023

Voici un autre contre-exemple.

Soit $E = F = \mathbb{R}$, et soit $\mathcal{F}$ l'ensemble des fonctions continues bornées pour la topologie usuelle au départ et à l'arrivée. Soit $\mathcal{T}$ la topologie initiale associée à $\mathcal{A}$, i.e. la topologie la moins fine rendant continue toutes les fonctions de $\mathcal{A}$. Alors $\mathcal{T}$ est évidemment moins fine que la topologie usuelle. D'autre part, elle contient tous les intervalles ouverts bornés : soit $I$ un intervalle ouvert inclus dans $[-M,M]$. Alors $I = f^{-1}(I)$, où $f := x \mapsto \max(-M, \min(x, M))$ qui est dans $\mathcal{A}$. Donc $I \in \mathcal{T}$.

Donc $\mathcal{T}$ est la topologie usuelle, et pourtant $x \mapsto x$ n'est pas dans $\mathcal{A}$.

Par contre, je dirais que si on suppose plein de choses sur $\mathcal{A}$, on peut rendre ça vrai... Bon, il y a justement le théorème qui t'intéresse, mais sinon, disons, si $F = \mathbb{R}$, si $\mathcal{A}$ est une algèbre stable par limites uniformes... À voir !

raoul.S · February 2023

La proposition du Bresiz découle directement du lemme suivant pas très difficile à prouver (pas de topologie ici) : si $V$ est un espace vectoriel et $\psi, \phi_1,...,\phi_n$ des formes linéaires sur $V$ telles que $\bigcap_{i=1}^n \ker(\phi_i)\subset \ker(\psi)$ alors $\psi$ est combinaison linéaire de $\phi_1,...,\phi_n$.

Thierry Poma · February 2023

Snobi : bonjour. Le texte de Bourbaki me semble suffisant pour expliquer ce qui se passe dans ton cas, vu que tu demandes si la réciproque est vraie :

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En prenant pour $\Sigma$ l'espèce de structure topologique, je te laisse conclure.

Foys · February 2023

Lorsque $E:=F:=\R$ et que $F$ $(=\R)$ est muni de la topologie usuelle de $\R$, en notant $id_{\R}:= x\in \R \mapsto x$, la topologie initiale de $\{id_{\R}\}$ est la topologie usuelle de $\R$ mais il existe des fonctions continues autres que l'identité.

Snobi · February 2023

Merci pour vos exemples, je suis convaincu.
Merci Raoul.S pour éclaircissement de ce lemme

Pour Thierry.
En prenant pour $\Sigma$ l'espèce de structure topologique, on obtient que
Définition 1.
Soit $E$ un ensemble et $(F_i, \mathcal T_{F_i})_{i \in I}$ une famille d'espaces topologiques.
Soit $(f_i)_{i \in I}$ une famille d'applications de $E$ dans $F$.
On dit qu'une topologie $\mathcal T_E$ sur $E$ est initiale pour $(F_i, \mathcal T_{F_i}, f_i)_{i \in I}$ ssi elle vérifie l'équivalence suivante:
$\forall (X, \mathcal T_x), \ \forall g \in E^X, \qquad g \in \mathcal C(X,E) \iff \forall i \in I, \ f_i \circ g \in \mathcal C(X,F_i)$

Proposition 1.
Soit $\mathcal T_E$ une topologie sur $E$,
Si $\mathcal T_E$ est initiale pour $(F_i, \mathcal T_{F_i}, f_i)_{i \in I}$
Alors, $\mathcal T_E$ est la topologie moins fine telle que $\forall i\in I, \ f_i \in \mathcal C(E,F_i) $
on se donne après une preuve de cette proposition on deux étapes.

Finalement on dit que la réciproque n'est pas vrai toujours. i.e.
Qu'on peut avoir $\mathcal T_E$ une topologie sur $E$ tel que :
$\mathcal T_E$ est la topologie moins fine telle que $\forall i\in I, \ f_i \in \mathcal C(E,F_i) $
et
$\mathcal T_E$ n'est pas initiale pour $(F_i, \mathcal T_{F_i}, f_i)_{i \in I}$

Exemple 1.
$E$ un ensemble, $(F, \mathcal T_F)$ un espace topologique.
Soit $(f_i)_{i \in I}$ une famille d'applications de $E$ dans $F$
Soit $\mathcal T_E$ la topologie moins fine telle que $\forall i\in I, \ f_i \in \mathcal C(E,F)$
La topologie $\mathcal T_E$ peut ne pas être initiale pour $(F_i=F, \mathcal T_{F_i}= \mathcal T_F, f_i)_{i \in I}$ ($\mathcal A = \{f_i , i \in I \}$)

Comment peut on conclure ?

Une question qui se pose ici.
D'hbitude la définition de la topologie initiale est :

Alors qu'elle est caractérisée par :

ici on remarque l'inverse mais pire que ça,

il peut ne pas avoir une équivalence dans la proposition 1.

Sinon merci pour la généralisation (c'est la théorie des structures ?) !

Topologie Initiale

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