Loi sans mémoire

Bonjour

Soit $X$ une variable aléatoire sans mémoire, c'est-à-dire que :

1. $\mathbb P(X > x) > 0$ pour tout $x > 0$;
2. $\mathbb P(X > t+h \mid X > t) = \mathbb P( X > h)$ pour tous $t,h>0$.

On suppose de plus que la fonction de répartition $F_X(x) = \mathbb P(X \leq x)$ de $X$ est :

1. nulle sur $\mathbb R_-$, strictement positive sur $\mathbb R^*_+$;
2. continue sur $\mathbb R$;
3. dérivable sur $\mathbb R^*_+$.

On demande de montrer que $X$ suit une loi exponentielle. 

En posant $\phi(x) = \mathbb P( X > x) = 1 - F_X(x)$ pour tout $x > 0$, on arrive rapidement à la relation
$$\phi(t+h) = \phi(t)\,\phi(h)$$ valable pour pour tous $t,h>0$ et en dérivant par rapport à $h$ on obtient
$$\phi'(t+h) = \phi(t)\,\phi'(h)$$ Bien sûr, j'aimerais maintenant prendre $h=0$ pour obtenir une simple équation différentielle sur $\phi$ mais aucune des hypothèses ne permet de passer à la limite $h \to 0^+$...
Comment peut-on conclure ici ? Merci !