Enseigner la géométrie en 2023 : quelle place pour l'algèbre linéaire ?

Pour illustrer mon propos précédent sur le fait que ne pas disposer le plus tôt possible d'un vocabulaire mathématique tel que demi-plan, intérieur, dessus, dessous,... est impossible dans le cadre de l'enseignement des mathématiques en 6è/5è, je prendrai l'exemple des angles alternes-internes. Cette notion - et la notion associée de bande délimitée par deux droites parallèles -est fondamentale car on l'utilise pour démontrer par exemple en 5è que la somme des angles d'un triangle est 180° ou encore parler de hauteur d'un parallélogramme relative à une base ou hauteur issue d'un sommet dans un triangle. Soit donc $A$ et $B$ deux droites parallèles. On définit la partie interne à $A$ et à $B$ soit en disant que c'est une notion évidente soit en précisant : intersection du demi-plan limité par $A$ contenant $B$ et du demi-plan limité par $B$ contenant $A$. Vient alors la notion classique de sécante $S$ coupant ces deux parallèles. Pour ma part, je n'hésite pas une seule seconde à parler de partie gauche de la sécante $S$ et de partie droite et du haut de la bande $\{A,B\}$ et du bas de la bande, ni de la partie intérieure à la bande. J'y suis contraint par le fait qu'il va falloir expliquer qu'on alterne : "un angle en haut, un angle en bas, un angle à gauche, un angle à droite". Je n'ai jamais eu de la part de mes élèves d'objection d'ordre mathématique mais même si une telle objection intervenait, rien de plus facile que de montrer par exemple les demi-plans $$x\geq 0, x\leq 0, y\geq 0, y\leq 0$$Je ne sais pas si un équivalent aussi simple et adapté à des 11/12 ans existe dans le cadre d'une géométrie telle que la géométrie d'Euclide/Hilbert/Birkhoff. De toute façon, je n'en ai pas besoin : ma formation mathématique à l'université me suffit amplement. [j'ai le Géométrie élémentaire(géométrie plane) à l'usage des classes de 4è et 3è A et B de Ch. Vacquant et A. Macé de Lépinay sous les yeux : sont définis naïvement les notions de demi-droite, segment,... Je vais regarder plus avant pour les demi-plans,...]

@Mathurin : j'ai des avis totalement contraires aux tiens (à l'exact opposé). Le but des connaissances géométriques acquises dans le secondaire est exclusivement d'introduire à l'algèbre linéaire. Elles n'ont aucune valeur propre en elles-mêmes, notamment pour la physique et l'ingénierie où le travail dans l'espace vectoriel réel $\mathbb R^3$ est systématiquement privilégié. Elles n'ont que peu de valeur propre en tant que culture générale(pour citer Bourbaki, "la géométrie classique a fâné, même si l'esprit de géométrie infuse partout dans la mathématique moderne.") De façon plus factuelle, si la géométrie classique n'est plus enseignée à l'université sur toute la planète dans les premières années universitaires, c'est qu'elle ne suscite de travaux que chez quelques mathématiciens spécialisés et n'a aucun intérêt pour la plupart des domaines de recherches actuels en mathématiques. La géométrie se réduit à l'approche linéaire. Déjà Gauss, Argand, Hamilton... l'avaient compris. Il n'y a aucune différence entre algèbre et géométrie(tu demandes à Claire Voisin d'exposer simplement la géométrie projective : elle commence par rappeler que $$k(u+v)=ku+kv$$ Christophe Berthault enseigne conformément au programme ce qui sera utile à ses brillants étudiants et il serait plus que temps de renvoyer quelques notions à enseigner dès la classe de seconde en arrêtant de disperser les lycéens vers des connaissances qui ne leur serviront jamais à rien, comme le chantait Jacques Brel. Depuis 25 ans que j'enseigne, la plupart des collégiens qu'on me confie, n'en ont rien à secouer. Les "besoins en géométrie élémentaire des techniciens" seront pourvus par quelques travaux bien choisis dans $\mathbb Z^2$, qui serviront de support à des travaux aux instruments de dessin(équerre, compas, pantographe,...), de motivation à l'apprentissage des définitions et de quelques raisonnements déductifs comme je l'ai montré tout au long du fil. Bien sûr, je respecte tes avis et la vérité est probablement située quelque part entre les uns et les autres. Là où je te rejoins, c'est sur les orientations conjoncturelles à courte vue données à l'enseignement des mathématiques en France( j'ajouterais "par des politiciens médiocres en particulier en mathématique"). Toute cette longue discussion avec les uns et les autres, je la mène en espérant changer utilement mon point de vue très tranché du départ de la discussion; mais, malgré de la bonne volonté de ma part, plus je la mène, plus mon avis se conforte.

On introduit $\mathbb R^3$ en troisième dans le cadre du repérage : c'est la seule connaissance sur l'espace mis à part les calculs triviaux de volume en 6è, 5 è , 4è et 3è. Donc en lycée sections techniques industrielles, les élèves qui arrivent en début de seconde disposent de l'ensemble $\mathbb R^3$. Ils disposent par ailleurs depuis la 5è de $\mathbb Z^2$ et donc en troisième de $\mathbb R^2$. J'imagine qu'on leur enseigne $$xx'+yy'$$ et qu'ils adoptent vite cette définition du produit scalaire de $(x,y)$ et de $(x',y')$. Il me semble que pour des calculs industriels, cela vaudrait mieux que de demander à une machine d'utiliser un rapporteur en bois ou en plastique. (Que cela soit mal introduit aux élèves par des méthodes inadéquates ne rentre pas en ligne de compte.)

@pldx1 : 

Il n'est nul part dit que $O$ est la trace de la bissectrice $Mx$ sur la droite $AB$. Je suis d'accord que si l'on rajoute cet argument, la justification devient valable pour un élève de 5è. Mais, ce qu'il y a, c'est que l'argument est absent.

@ericpasloggue: les deux démonstrations me conviennent pour mes collégiens. Par contre, je ne sais pas ce que tu appelles "géométrie neutre". Quant à l'axiome des parallèles, selon moi, les cas d'égalité nécessitent d'avoir utilisé de nombreux résultats préalables. S'il s'agit d'une justification acceptable pour des collégiens, je ne pense pas qu'il soit honnête de conserver le mot "démonstration" pour des lycéens.

Par exemple, toutes les circumlocutions autour du parallélogramme en 5è, pour introduire la translation en 4è, que j'ai subies étant élève il y a quarante ans, c'est d'un ridicule achevé. Alors que la translation de vecteur $(5,2)$ est l'application qui à $M=(x,y)$ associe $M'$ défini par $$M\mapsto M'=(x+5,y+2)$$Cela me navre car quand j'étais en CE2, la maîtresse me reprochait de ne pas savoir décaler mon poisson de $5$ carreaux vers la droite et de $2$ carreaux vers le haut. A moins que ce soit en maternelle grande section. Véridique. Je trouve cela vraiment médiocre et un incroyable gâchis. C'est la raison pour laquelle je le fais dès le début de la 6è et ils comprennent évidemment fort bien non seulement ce qu'est une translation mais ce qu'est le vecteur $(5,2)$. La mathématique, toute élaborée qu'elle soit, n'est jamais qu'une des nombreuses techniques inventées par le cerveau humain. Une parmi tant d'autres et il ne faudrait pas en surévaluer l'importance. A la lumière de l'algèbre linéaire, la géométrie classique est essentiellement triviale et tant mieux : on peut ainsi faire des activités-éventuellement mathématiques- bien plus intéressantes.(exemple pour illustrer les fractions de dénominateur $2$ avec des 6è:

Bonjour Jean-Louis. 

Je suis trop elliptique et cela me rend parfois impossible à suivre. 

Je suis en train de reprendre l'étude des fractions telles que $\frac58$ et $\frac{13}7$ avec mes 6è qu'ils placent sur des demi-droites graduées horizontales et verticales. Puis ils placent des points tels que $(\frac58,\frac{13}7)$. Pour rompre la monotonie de cette étude, je leur ai proposé de réaliser un "E" avec point de fuite en exploitant $$(5,12)\mapsto (\frac{5}{\color{red}2}\color{black},\frac{12}{\color{red}2}\color{black})$$

Je viens par ailleurs de découvrir parmi les ressources geogebra la très intéressante activité( mise à part l'image de guerre) sur la perpective avec point de fuite. Cette activité peut faire le lien entre les travaux en classe et des centres d'intérêt de certains de mes jeunes élèves, en général assez éloignés des mathématiques.

Comme j'évoquais la possibilité grâce au recours aux coordonnées de gagner en temps et en simplicité pour des explications sur la translation par exemple, j'ai fait ces associations d'idées.

Quant à mon idée fixe, comme elle donne l'occasion d'évoquer des travaux de Daniel Perrin, Charles Vacquant et Auguste Macé de Lépinay, Christophe Berthault, une réunion de professeurs chez Ligel en 1961, Henri Poincaré, Bolyai, Hilbert, Euclide, Dieudonné, ma maîtresse de CE2 , la commission Kahane, j'ai la naïveté de croire que c'est une idée fixe partagée par pas mal de monde .

@Mathurin : les maths comme outil et les maths comme art sont tellement intimement liés qu'il est difficile pour moi de nuancer mon propos sur lequel ta critique porte.

Cela me fait penser au début de Symétrie et mathématique moderne d'Hermann Weyl. Il commence par parler de la beauté de la symétrie puis définit mathématiquement la symétrie bilatérale, "un concept strictement géométrique et non vague". "Peut-être aura-t-elle perdu, chemin faisant, son attrait émotionnel, mais elle aura conservé, ou même accru son pouvoir d'unification dans le domaine de la pensée. Enfin, elle sera exacte [NDRL: un outil], et non plus vague." 

Malheureusement je n'ai pas le centième du talent d'Hermann Weyl.