Vrai ou faux agreg interne 2023
Bonsoir
Il s'agit de répondre par vrai ou faux à chacune des affirmations suivantes.
Rapidement, pour voir si j'ai compris le cours du Liret, j'aimerais avoir si mes réponses sont correctes.
Il s'agit de répondre par vrai ou faux à chacune des affirmations suivantes.
Rapidement, pour voir si j'ai compris le cours du Liret, j'aimerais avoir si mes réponses sont correctes.
a) Pour tout nombre premier $p$ et pour tout entier naturel non nul, l'anneau $(\Z / p^n \Z ,+,.)$ est un corps.
C'est faux, si on prend $p=2$ et $n=2$, $(\Z / 4 \Z)$ n'est pas un corps, car $4$ n'est pas premier.
C'est faux, si on prend $p=2$ et $n=2$, $(\Z / 4 \Z)$ n'est pas un corps, car $4$ n'est pas premier.
b) Si $p$ est un nombre premier impair, alors la classe de $2$ engendre le groupe $(\Z / p^n \Z)^{*}$.
Pas réussi. Pour moi l'énoncé manque de précision, $n$ n'est pas défini.
Pas réussi. Pour moi l'énoncé manque de précision, $n$ n'est pas défini.
c) Le groupe multiplicatif des éléments inversibles de $(\Z / 9 \Z,+,.)$ est cyclique.
Vrai.
J'ai trouvé un peu par hasard... Je ne sais pas s'il y a d'autres générateurs.
Ce groupe possède $\varphi(9)=6$ éléments.
Les inversibles sont $\bar{1}, \bar{2},\bar{4},\bar{5},\bar{-2},\bar{-1}$.
Pour tout $\bar{x}$ différent de $\bar{1}$, l'ordre de $\bar{x}$ est $2,4,6$.
$\bar{2}^2=\bar{4}$, $\bar{2}^3= \bar{-1}$, $\bar{2}^4=\bar{-2}$, $\bar{2}^5=\bar{-4}$ et $\bar{2}^6=\bar{1}$.
Donc $\bar{2}$ est d'ordre le cardinal du groupe $(\Z / 9 \Z,+,.)$, ce qui montre que ce groupe est cyclique.
Vrai.
J'ai trouvé un peu par hasard... Je ne sais pas s'il y a d'autres générateurs.
Ce groupe possède $\varphi(9)=6$ éléments.
Les inversibles sont $\bar{1}, \bar{2},\bar{4},\bar{5},\bar{-2},\bar{-1}$.
Pour tout $\bar{x}$ différent de $\bar{1}$, l'ordre de $\bar{x}$ est $2,4,6$.
$\bar{2}^2=\bar{4}$, $\bar{2}^3= \bar{-1}$, $\bar{2}^4=\bar{-2}$, $\bar{2}^5=\bar{-4}$ et $\bar{2}^6=\bar{1}$.
Donc $\bar{2}$ est d'ordre le cardinal du groupe $(\Z / 9 \Z,+,.)$, ce qui montre que ce groupe est cyclique.
d) Si $a$ est un entier relatif, on note $\bar{a}$ la classe de $a$ dans $\Z / 5 \Z$.
Étant donnés quatre entiers relatifs $a,b,c,d$, on note $M$ la matrice de $M_2(\Z )$ définie par $M=\begin{pmatrix}a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$
et on note $\bar{M}$ la matrice de $M_2(\Z/5\Z)$ définie par $\bar{M}=\begin{pmatrix}
\bar{a} & \bar{b} \\
\bar{c} & \bar{d}
\end{pmatrix}$.
Si $M \in GL_2(\R)$ alors $\bar{M} \in GL_2 (\Z / 5 \Z)$.
C'est faux, cette question me semble triviale. On prend $M=\begin{pmatrix}
\bar{10} & \bar{5} \\
\bar{5} & \bar{10}
\end{pmatrix}$.
On a $\det M = 100 -25=75 \ne 0$ donc $M$ est inversible sur $\R$.
Mais $\bar{M}$ est la matrice nulle elle n'est pas inversible dans $\Z / 5 \Z$.
Étant donnés quatre entiers relatifs $a,b,c,d$, on note $M$ la matrice de $M_2(\Z )$ définie par $M=\begin{pmatrix}a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$
et on note $\bar{M}$ la matrice de $M_2(\Z/5\Z)$ définie par $\bar{M}=\begin{pmatrix}
\bar{a} & \bar{b} \\
\bar{c} & \bar{d}
\end{pmatrix}$.
Si $M \in GL_2(\R)$ alors $\bar{M} \in GL_2 (\Z / 5 \Z)$.
C'est faux, cette question me semble triviale. On prend $M=\begin{pmatrix}
\bar{10} & \bar{5} \\
\bar{5} & \bar{10}
\end{pmatrix}$.
On a $\det M = 100 -25=75 \ne 0$ donc $M$ est inversible sur $\R$.
Mais $\bar{M}$ est la matrice nulle elle n'est pas inversible dans $\Z / 5 \Z$.
e) Soient $L$ et $K$ deux corps commutatifs.
Un morphisme d'anneaux $\mu : K \rightarrow L$ est toujours injectif.
C'est vrai.Un morphisme d'anneaux $\mu : K \rightarrow L$ est toujours injectif.
Puisque $\ker \mu$ est un idéal de $K$ différent de $K$. Or, les seuls idéaux possibles d'un corps sont $\{0 \}$ et $K$.
Donc $\ker \mu = \{ 0 \}$ et $\mu$ est injectif.
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Réponses
Pour le b) il me semble que c'est faux. Par exemple, $2^ 3 = 8$, donc modulo 7 ça vaut 1, ce qui fait de $\overline{2}$ un élément d'ordre $3$ dans le groupe des inversibles de $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$.
Pour le d), tu peux aussi voir que plus généralement, $\det(M)$ étant polynomial en les coefficients de la matrice, $\det(\overline{M}) = \overline{\det(M)}$, ce qui fait que $\overline{M}$ est inversible si et seulement si son déterminant n'est pas un multiple de $5$.
Cela dit, l'énoncé n'est pas si ambigu ; il fallait comprendre pour tout $p$ premier impair et tout $n\geqslant1$.
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. $\Z / n \Z$ est un corps si et seulement si $n$ est premier.
Etonnant de redonner cette propriété à ce niveau.
Ok merci. Tout groupe cyclique à $n$ élément possède $\varphi(n)$ générateurs. Encore un résultat qui figure dans le Liret.
b) Le point clé est que $(\Z / m \Z)^{*}$ possède $\varphi(m)$ éléments.
$2$ est premier avec $p$ donc $2$ est premier avec $p^n$.
Donc $2$ est un élément de $(\Z / p^n \Z)^{*}$.
$\varphi(p^n)=p^n-p^{n-1}$.
On a $\bar{2}^{\varphi(p^n)}=\bar{1}$.
Ainsi b) est vraie, et on a $\boxed{<\bar{2} >= (\Z / p^n \Z)^{*}}$.
oui, mais cela ne prouve pas que $2$ engendre par exemple $(Z/7Z)^*$. En effet, ce groupe a $6$ éléments mais on a déjà $2^3=1$ ; en revanche, $3$ engendre car les puissances de $3$ sont $1,3,2,6,4,5$. : tout le monde est là !
Bonne soirée, j__j
Bien vu pour le contre exemple, bonne soirée.
Généralement quand on voit un énoncé un peu compliqué comme celui-ci à démontrer dans un vrai ou faux, c'est toujours faux.
Ce qui m'a perturbé c'est l'absence de quantificateur sur $n$.
Je pense que les auteurs du sujet testent la compréhension de la négation d'une assertion logique dans cette question.
C'est à montrer en question 5 (a)... Elle est fausse la (b). Dans $(\Z/7\Z)^{\times}$ ,$2$ est d'ordre 3...
Les candidats n'ont pas le temps ni l'énergie d'aller sur le forum, je pense qu'ils se reposent pour demain, et se détendent.
La question étant mal rédigée tu as le droit d'écrire des erreurs ^^
ALLEZ ! Courage 💪
Centrale MP maths 1 2020 utilise $\varphi(p^i)$ dans de nombreuses questions.
J'avais passé 10 heures sur ce sujet.
Depuis je l'ai mémorisée cette formule et je sais la retrouver.
Ça permet de bien travailler le cours.