Loi de Pareto

LeVioloniste · January 2023

Voilà un nouvel exercice de proba comme j'aime.

Q1. Fonction de répartition de $X \sim VP(\lambda,\theta)$.
$\forall t>\theta,\ f_X(t)=\frac{\lambda}{\theta}.(\frac{\theta}{t})^{\lambda+1}.\mathbf{1}_{]\theta,+\infty[}(t)$.

$\forall x>\theta,\ \mathbb{P}(X \leq x)=\int_{\theta}^x \frac{\lambda}{\theta}.(\frac{\theta}{t})^{\lambda+1} dt = \lambda.\theta^{\lambda}.[\frac{t^{-\lambda}}{-\lambda}]_{\theta}^x=1-(\frac{\theta}{x})^{\lambda}$. Si $x<\theta$, $\mathbb{P}(X \leq x)=0$.

Q2a.
Je veux montrer que $[X_{n+1}>3/2] \subset [|Z_{n+1}-Z| > 1/4] \cup [|Z_{n}-Z| > 1/4]$
Il faut utiliser $Z_{n+1}=X_{n+1}.Z_{n}$ puis $Z_{n+1} \geq 3/2.Z_{n}$ mais on ne sait pas le signe des valeurs prises par la va ...
Je ne crois pas au fait d'utiliser le fait que $X_n$ suit une loi de Pareto.

Je ne vois pas comment faire, la méthode de résolution me semble bien cachée...
Une idée ? JLapin sans doute ...

LeVioloniste · January 2023

Q2b. cv$\mathbb{P}$ de $(Z_n)_n$.
Je suppose l'existence d'une va $Z$ vérifiant
Montrons que $\forall \epsilon > 0,\ \lim_{n \mapsto +\infty} \mathbb{P}(|Z_n-Z| \geq \epsilon) =0$.

J'écris $\mathbb{P}([|Z_n-Z| > 1/4])=1-\mathbb{P}([|Z_n-Z| \leq 1/4])$
On obtient $\mathbb{P}([|Z_n-Z| > 1/4])+\mathbb{P}([|Z_{n+1}-Z| > 1/4]) \leq 2 - \mathbb{P}([X_{n+1} > 3/2])$
Idem là ce n'est pas concluant.

Sinon trouver la fonction de répartition de $Z_n$ est une piste ?

JLapin · January 2023

Il manque un énoncé.

LeVioloniste · January 2023

J'ai souvent des 'Gateway Timeout' quand j'enregistre mes messages et je perds souvent du contenu. Fichtre !

JLapin · January 2023

Tu devrais pouvoir montrer que $X_{n+1}>3/2$ est inclus dans $|Z_{n+1}-Z_n|>1/2$ et conclure avec l'inégalité triangulaire.

LeVioloniste · January 2023

Comment fais-tu JLapin pour trouver immédiatement les bonnes idées ? Et pourquoi je ne vois rien en raisonnant sur un axe gradué !

JLapin · January 2023

Vu la question, on a bien envie d'utiliser l'inégalité triangulaire. Et comme $Z$ est quelconque, on a envie de le faire disparaitre...

LeVioloniste · January 2023

Après j'ai un doute, vu les paramètres de la loi de Pareto, $Z_n$ est à valeurs strictement positives ?

LeVioloniste · January 2023

$[X_{n+1} > 3/2]=[ Z_{n+1} > 3/2. Z_n ]=[ Z_{n+1} - Z_n > 1/2.Z_n] \subset [| Z_{n+1} - Z_n| > 1/2]$

Puis $| Z_{n+1} - Z_n| = | Z_{n+1} - Z + Z - Z_n| \leq | Z_{n+1} - Z | + | Z - Z_n |$

Donne $ [ | Z_{n+1} - Z | + | Z - Z_n | > 1/2] \subset [ | Z_{n+1} - Z_n| > 1/2] $ mais pour découper en 1/4 je ne suis pas convaincu ... en plus mon inclusion est à l'envers.

Il me faut successivement $ [ | Z_{n+1} - Z_n| > 1/2] \subset [ | Z_{n+1} - Z | + | Z - Z_n | > 1/2] $

et $ [ | Z_{n+1} - Z | + | Z - Z_n | > 1/2] \subset [ | Z_{n+1} - Z | > 1/4 ] \cup [ | Z_{n} - Z | > 1/4 ]$

De la réflexion s'impose

LeVioloniste · February 2023

3a
Loi de $Y_k$ :

Soit $y \geq 0$, $\mathbb{P}(Y_i \leq y)=\mathbb{P}(\ln(X_i/\theta) \leq y)=)=\mathbb{P}(X_i \leq \theta.e^y)=F_X(\theta.e^y)$.

P.2 · February 2023

Tu as de mauvaises fréquentations, ce genre d'exo est encore un trompe-couillon en te baladant dans des choses sans intérêt. En effet comme dit seulement à la fin, si $\Pr(Y_k>y)=e^{-y}$ pour $y>0$ alors

$$\log Z_n=n\log \theta+\frac{1}{\lambda}(Y_1+\cdots+Y_n)$$ et la densité de $Y_1+\cdots+Y_n$ est $y^{n-1}e^{-y}/(n-1)!$ si on sait que la loi de la somme de deux va aléatoires de loi gamma de même paramètre d’échelle est encore une loi gamma.

JLapin · February 2023

LeVioloniste a dit :

$ [ | Z_{n+1} - Z | + | Z - Z_n | > 1/2] \subset [ | Z_{n+1} - Z_n| > 1/2] $ mais pour découper en 1/4 je ne suis pas convaincu ... en plus mon inclusion est à l'envers.

Surtout, cette inclusion est fausse en général.

LeVioloniste · February 2023

Tu peux me donner une indication pour que j'avance JLapin ? Ce que j'avais écrit devrait être la solution :

$ [ | Z_{n+1} - Z_n| > 1/2] \subset [ | Z_{n+1} - Z | + | Z - Z_n | > 1/2] $

$ [ | Z_{n+1} - Z | + | Z - Z_n | > 1/2] \subset [ | Z_{n+1} - Z | > 1/4 ] \cup [ | Z_{n} - Z | > 1/4 ]$ sont-elles justes ?
Dans les livres les inclusions d'ensemble ne sont jamais démontrées pour les probas.

JLapin · February 2023

Tes deux inclusions sont correctes. Pour les justifier, prends un élément dans le premier ensemble et montre qu'il appartient au second.

LeVioloniste · February 2023

Il est intellectuellement difficile de définir un élément de ces ensembles. Pour le premier je pose $z=|Z_{n+1}-Z_{n}|$ et $z>1/2$.

Puis $z=|Z_{n+1}-Z+Z-Z_{n}| \leq |Z_{n+1}-Z|+|Z-Z_{n}|$ alors $ |Z_{n+1}-Z|+|Z-Z_{n}| \geq z > 1/2$. Ainsi $z \in [|Z_{n+1}-Z|+|Z-Z_{n}|] $ me semble syntaxiquement incorrect.

Quelqu'un a-t-il une meilleure rédaction ?

Pomme de terre · February 2023

Je rédigerais comme ça.

Par inégalité triangulaire $|Z_{n+1} - Z_n| \leq |Z_{n+1} - Z| + |Z_n - Z|$.
Donc l'évènement $[|Z_{n+1} - Z| \leq \tfrac14] \cap [|Z_{n} - Z| \leq \tfrac14]$ est inclus dans $[|Z_{n+1} - Z_n| \leq \tfrac12]$.
On conclut par passage au complémentaire.

JLapin · February 2023

LeVioloniste a dit :

Il est intellectuellement difficile de définir un élément de ces ensembles.

Soit $w\in ...$. Ça ne me semble pas intellectuellement trop difficile si on se rappelle qu'un événement est une partie de l'univers $\Omega$.

agregagreg2 · February 2023

Peut-être qu'il y a un oubli dans la signification de l'écriture $[|Z_{n+1}−Z_n| > 1/2]$ :
* un élément de $[|Z_{n+1}−Z_n|>1/2]$, ce n'est pas $|Z_{n+1}−Z_n|$
* $[|Z_{n+1}−Z_n|>1/2] = [\omega \in \Omega / |Z_{n+1}(\omega) −Z_n(\omega)|>1/2]$.

Ensuite pour l'inclusion, on peut procéder comme suggéré "par majoration", mais on peut aussi plus directement penser "par minoration" : quand on a une inégalité triangulaire $|a - b| \leq |a - c| + |c - b|$,
si $|a - b| > m$, alors l'un des termes à droites est $> m/2$.

LeVioloniste · February 2023

Voilà c'est ce $\omega$ qui est la clé. Comment ai-je pu oublier ?

LeVioloniste · February 2023

Bon je continue le sujet, je ne vois pas la cvg en proba de $Z_n$.

Pour utiliser le 2a il faudrait que je trouve la valeur de la limite de la proba de $[X_{n+1} > 3/2]$. Je n'ai pas d'idée.

LeVioloniste · February 2023

3a i/
Loi de $Y_k$ :
Soit $y \geq 0$, $\mathbb{P}(Y_i \leq y)=\mathbb{P}(\ln(X_i/\theta) \leq y)=)=\mathbb{P}(X_i \leq \theta.e^y)=F_X(\theta.e^y)$.
Ainsi Si $y \geq 0$, $\mathbb{P}(Y_i \leq y)=1-\frac{\theta}{\theta.e^y}^\lambda=1-e^{-y}$.
Si $y < 0$ alors $\mathbb{P}(Y_i \leq y)=0$.
Du coup $Y_i \sim \exp(\lambda)$.

3a ii/
On a $\mathbb{E}(Y_i)=\int_\mathbb{R} x.\lambda.e^{-\lambda.x} \mathbb{1}_{[0,+\infty](x)} dx$ avec une IPP $\mathbb{E}(Y_i)=\frac{1}{\lambda}$ puis $\mathbb{E}(Y_i^2)=\int_\mathbb{R} x^2.\lambda.e^{-\lambda.x} \mathbb{1}_{[0,+\infty](x)} dx=[-(x^2.\lambda^2+2x\lambda+2).e^{-\lambda.x}/\lambda^2]_0^{+\infty}=\frac{2}{\lambda^2}$
Donc $\mathbb{V}(Y_i)=\mathbb{E}(Y_i^2)-\mathbb{E}(Y_i)^2=\frac{2}{\lambda^2} - (\frac{1}{\lambda})^2 = \frac{1}{\lambda^2}$.

Puis revenons aux questions :
$\mathbb{E}(\overline{Y_n})=\frac{1}{n}. \sum_{k=1}^{k=n} \mathbb{E}(Y_k) = \frac{1}{n}.n.\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{\lambda}$.
$\mathbb{V}(\overline{Y_n})=\frac{1}{n^2}. \sum_{k=1}^{k=n} \mathbb{V}(Y_k) =\frac{1}{n^2}.n.\frac{1}{\lambda^2}=\frac{1}{n.\lambda^2}$

LeVioloniste · February 2023

Pour la 3b i/
On considère la va centrée réduite $\tilde{Y_n}=\frac{\overline{Y_n}-\mathbb{E}(\overline{Y_n})}{\sqrt{\mathbb{V}(\overline{Y_n})}}$. On a $\tilde{Y_n}=\frac{\overline{Y_n}-\frac{1}{\lambda}}{\sqrt{1/n.\lambda^2}}=\lambda.\sqrt{n}.(\overline{Y_n}-\frac{1}{\lambda})$.
On applique le TCL à $\tilde{Y_n}$ avec $\mathbb{E}(\overline{Y_n}^2)$ existe alors $\tilde{Y_n} \mapsto \mathbf{N}(0,1)$ en loi.

Pour la 3b ii/

On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebichev :

$\forall \epsilon > 0$, $\mathbb{P}(|\overline{Y_n}-\mathbb{E}(\overline{Y_n})| \geq \epsilon) \leq \frac{\mathbb{V}(\overline{Y_n})}{\epsilon^2}=\frac{1}{n.\lambda^2.\epsilon^2}$.

Ici je transforme : $\mathbb{P}(|\overline{Y_n}-\mathbb{E}(\overline{Y_n})|) \geq \epsilon= \mathbb{P}(|\lambda.\overline{Y_n}-\lambda.\mathbb{E}(\overline{Y_n})|) \geq \lambda.\epsilon) \leq \frac{1}{n.\lambda^4.\epsilon^2}$.

Ce qui donne: $\mathbb{P}(|\lambda.\overline{Y_n}-1|) \geq \lambda.\epsilon) \leq \frac{1}{n.\lambda^4.\epsilon^2}$.

Puis le passage à la limite qd $n \mapsto +\infty$ donne le résultat.

agregagreg2 · February 2023

Q2)
Si tu ne trouves pas la convergence en proba, peut-être qu'il n'y en a pas.
* D'abord, la question ne demande pas de montrer la convergence.
* Ensuite, dans la définition il y a un epsilon quelconque, et dans l'inégalité 2a c'est un epsilon précis.

Pour la limite de $[Xn+1>3/2]$, tu as ce qu'il faut pour la calculer, tu as peut-être oublié des informations en cours de route : revois les questions précédentes et les hypothèses générales.

LeVioloniste · February 2023

Pour la 3c C'est l'application du théorème de Slutsky qui ne donne pas son nom

$\tilde{Y_n}=\frac{\overline{Y_n}-\frac{1}{\lambda}}{\sqrt{1/n.\lambda^2}}=\lambda.\sqrt{n}.(\overline{Y_n}-\frac{1}{\lambda})$ et $\tilde{Y_n} \mapsto \mathbf{N}(0,1)$ en loi.
$\overline{Y_n} \mapsto \frac{1}{\lambda}$ en probas donne $\hat{\lambda_n} \mapsto \lambda $ en probas.
Donc le produit n'apparaît pas clairement

$X_n=\lambda.\sqrt{n}.(\overline{Y_n}-\frac{1}{\lambda})=\sqrt{n}.(\frac{\lambda}{\hat{\lambda_n}}-1)$

mais ne peut pas correspondre avec $\sqrt{n}.(\frac{\hat{\lambda_n}-\lambda}{\lambda})=\sqrt{n}.(\frac{\hat{\lambda_n}}{\lambda}-1)$

Ca m'énerve je ne pense pas m'être trompé !