Anneau $\mathbb{Z}[\sqrt{7}]$ et équation de Pell-Fermat

canasson29 · February 2023

Bonsoir à tous,
l'exercice sur la page d'accueil qui concerne l'équation de Pell-Fermat $a^2-7\,b^2=1$ me donne du fil à retordre.

Serait-il est possible d'avoir des indications des auteurs ou de tout âme charitable pour ne pas gâcher l'effet de "surprise" à ceux qui aimeraient le résoudre ?
Je ne vois pas comment montrer que $\mathcal{U}(A)$ n'est pas réduit à $\lbrace -1;1\rbrace$ sauf à employer une méthode exhaustive. Dans le cas présent, cela reste humain mais cela ne semble pas être la démarche souhaitée (et ce n'est pas souhaitable pour l'esprit mathématique) au vu de la question 5.2 que je ne sais pas non plus faire.

Par ailleurs, l'équation peut se résoudre à l'aide des réduites $\dfrac{p_n}{q_n}$ du développement en fraction continue de $\sqrt{7}.$ J'ai pu observer que la suite de terme général $p_n^2-7q_n^2$ était une suite ultimement périodique (ici de période 4). Le caractère ultimement périodique de la suite $(p_n^2-d\,q_n^2)$ où $\frac{p_n}{q_n}$ est la réduite d'ordre $n$ de $\sqrt{d}$ se généralise-t-il ou est-ce un cas fortuit ?

Merci d'avance pour vos éclairages et pour toute suggestion de référence sur Pell-Fermat.

Math Coss · February 2023

Une façon bébête consiste à faire varier de $1$ à... ce qu'il faut et de voir si $7b^2+1$ est un carré. Coup de chance, ça fonctionne assez vite, au contraire d'autres équations analogues. Par exemple pour $a^2-59b^2=1$, la plus petite solution est $b=69$, ce qui finirait par faire long à la main...

Poirot · February 2023

Pour ta question sur les fractions continuées, c'est un théorème de Lagrange qui dit qu'un tel développement est périodique si et seulement si c'est le développement d'un nombre algébrique de degré $2$ !

Quant au fait que le groupe des unités n'est pas fini, on pourrait invoquer le théorème des unités de Dirichlet, mais j'imagine que c'est trop à ton goût. En tout cas, la démonstration peut s'adapter pour établir élémentairement que le groupe des unités d'un corps quadratique réel est de rang $1$, en particulier infini. L'article Wikipedia donne une preuve dans ce cas (cas $r_1=2$ et $r_2=0$).

canasson29 · February 2023

Bonsoir Poirot, moi je parlais de la suite $(p_n^2-d\,q_n^2)$ Cela ne m'apparaît pas évident qu'elle soit périodique au premier abord en invoquant que le développement en fraction continue $[c_0;\dots;c_n\dots]$ de $\sqrt{d}$ soit ultimement périodique. Soit dit en passant, dans ma tête j'attribuais le résultat dont tu parles à Galois.

jandri · February 2023

Math Coss a dit :

Une façon bébête consiste à faire varier de $1$ à... ce qu'il faut et de voir si $7b^2+1$ est un carré. Coup de chance, ça fonctionne assez vite, au contraire d'autres équations analogues. Par exemple pour $a^2-59b^2=1$, la plus petite solution est $b=69$, ce qui finirait par faire long à la main...

C'est encore plus fort avec $a^2-61b^2=1$, la plus petite solution avec $b>0$ est $b=226153980$.

LOU16 · February 2023

Bonjour,

A propos de la $\:\boxed{\text{ périodicité de } (p_n^2-7q_n^2)_n:}\:$

Soit $d\in\N$ tel que $\sqrt d\notin \N.\:$Soit $(x_n)_n$ la suite définie par $ x_0=\sqrt d,\:\:\forall n\in\N,\: x_{n+1}=\dfrac 1{x_n-a_n}\:\:$où $\:a_n=\lfloor x_n\rfloor.$

$\sqrt d$ est un nombre quadratique, donc la suite $(x_n)_n$ est ultimement périodique.(Lagrange)

Les suites $\:(p_n)_n, (q_n)_n\:$ sont définies par: $\:p_0=1,\:q_0=0,\:p_1 =a_0,\:q_1=1, \:\forall n\in\N,\:p_{n+2}=a_{n+1}p_{n+1}+p_n,\:\:q_{n+2}=a_{n+1}q_{n+1}+q_n.$

Alors:$\:\:\forall n\in\N,\:\:p_nq_{n-1}-p_{n-1}q_n=(-1)^n.\quad$ Notons: $H_n=\begin {pmatrix}0&1\\1&-a_{n-1}\end{pmatrix},\:\:\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}\star x:=\dfrac{ax+b}{cx+d}.$

Aors: $\: x_n=(H_nH_{n-1}\dots H_1)\star x_0=\begin{pmatrix}q_{n-1}&-p_{n-1}\\-q_n&p_n\end{pmatrix}\star x_0=\dfrac{q_{n-1}\sqrt d-p_{n-1}}{p_n-q_n\sqrt d}=\dfrac{(dq_nq_{n-1}-p_np_{n-1} )+(-1)^n\sqrt d}{p_n^2-dq_n^2}$

La périodicité de $(x_n)_n$ entraîne alors celles de $( (-1)^n(p_n^2-dq_n^2))_n\:\:$ et de $\:(p_n^2-dq_n^2)_n.$

$\quad (a+b\sqrt d=a'+b'\sqrt d, \:\:a,b,a',b' \in\Q)\implies b=b'.$