Une intégrale, et une série

Fin de partie · February 2023

Deux problèmes publiés récemment par l'American mathematical monthly.

Prouver que :
\begin{align}\Re{z}>1,\int_0^\infty \frac{x^z}{\cosh^3 x}dx=\Gamma(z+1)\Big(\beta(z+1)-\beta(z-1)\Big)\end{align}
Dans l'énoncé original il est écrit de prouver que cette formule est vraie pour $\Re{z}\geq 0$,

mais $\displaystyle \beta(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^z}$ n'est définie que pour $\Re{z}>0$.

Cette fonction admet sûrement un prolongement holomorphe à $\Re{z}\geq -1$.

Le problème (AMM $12379$) a été proposé par Lawrence Glasser.
(ce gars a écrit un certain nombre d'articles ayant pour sujet des calculs de séries ou d'intégrales particulières ou de formules concernant les intégrales. Voir celui-ci par exemple)

Prouver que :
\begin{align}\sum_{n=1}^\infty \frac{\binom{2n}{n}\binom{4n}{2n}}{64^n(2n-1)}=1-\frac{1}{\pi}\left(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})\right)\end{align}
Proposé par un certain Hongwei Chen. C'est le problème AMM $12381$

Le premier problème, si on prend $\Re{z}>1$ est relativement standard et même un peu trop facile.

Le deuxième est nettement plus difficile me semble-t-il. Je suis en train d'essayer de le résoudre avec ma méthode favorite (mais pas forcément la plus facile à tous les coups) : transformer cette série en une intégrale ou une somme d'intégrales et calculer toutes les intégrales.

Epsilon maths · February 2023

r

Fin de partie · February 2023

@Epsilon maths: Je connais le site de Géry Huvent mais je ne me souvenais pas de ce texte-là. Merci.

Je le lirai plus tard, je veux faire ce calcul tout seul.

etanche · February 2023

Pour la série dans l’article de Géry Huvent au dénominateur c’est $2n+1$ alors pour la série de AMM
c’est $2n-1$, comment s’y ramener ? Merci

gebrane · February 2023

Bonjour,
Je trouve que notre intégrale vaut

\begin{align*} I/8 &= \int_{0}^{\infty}x^{z}e^{-x} \frac{e^{-2x}}{(1+e^{-2x})^{2}} dx \\& =\int_{0}^{\infty} x^{z} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n e^{-(2n+1)x} dx \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}n \int_{0}^{\infty} x^{z} e^{-(2n+1)x} dx \\
&= \Gamma(z+1) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n}{(2n+1)^{z+1}} \end{align*}

J'ai abandonné après 504 Gateway Time-out, nginx/1.18.0 (Ubuntu)

Fin de partie · February 2023

Pour le problème $12383$ on peut montrer que cette série est égale à :
\begin{align}\frac{4}{\pi^2}\int_0^\infty \int_0^\infty \frac{\text{arctanh}\left(\frac{1}{(1+y^2)\sqrt{1+x^2}}\right)}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}(1+y^2)^2}dxdy \end{align}
On est tenté de calculer cette intégrale avec un changement de variable standard dans les circonstances.

Cela semble fonctionner même si ce n'est pas très élégant.

Fin de partie · February 2023

@Gebrane: C'est une puissance trois au dénominateur. Une fois que tu auras rectifié ton calcul, nos deux calculs seront identiques. Ce calcul n'est valable que pour $\Re{z}>1$.

gebrane · February 2023

La 504 m'a eu.

Fin de partie · February 2023

@Gebrane: Si tu veux taper en ligne du $\LaTeX$ à l'arrache utilise plutôt MathExchange. Leur interface est meilleure (ce que tu tapes apparaît sans avoir besoin de cliquer sur quelque chose et il y a un diagnostic d'erreur et surtout le site ne te crache pas à la g... des 404 et autres messages d'erreur en permanence)

Une fois que tu as fini, tu colles tout ici.

PS.
J'ai fait tous les calculs mentionnés dans cette file de messages sans aucun accès à internet sur mon petit ordinateur portable équipé de TexStudio, de Maxima et GP PARI. Wolfy m'aurait été bien utile à certains moments .

gebrane · February 2023

Merci , je me souviendrai. Sais-tu comment imprimer le rendu du Latex sur MathExchange, même dans ce forum je ne sais pas.

Fin de partie · February 2023

Imprimer? Si tu veux générer un fichier PDF tu dois utiliser un programme dédié (genre TexStudio). MathExchange c'est seulement pour générer du $\LaTeX$ à l'arrache.

Si tu as besoin d'un en-tête pour générer un PDF;

\documentclass[a4paper,11pt] {article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{eurosym}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\begin{document}

\end{document}

gebrane · February 2023

Merci.

Une intégrale, et une série

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Bonjour!

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