Calcul d'une espérance

Chronixal · February 2023

Bonjour
J'aimerais démontrer un résultat mais je n'y parviens pas.

Soit $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées et soit $k \in \mathbb{N}$.
Il s'agit de montrer que $ \lim\limits_{n\to\infty} \displaystyle\frac{1}{n-k+1} \sum_{j=0}^{n-k} X_jX_{j+k} = \mathbb{E}(X_0X_k)$.

J'aurais voulu utiliser la loi forte des grands nombres pour régler directement le problème mais apparemment la suite $(X_iX_{i+k})_{i\in\mathbb{N}}$ ne respecte pas nécessairement l'hypothèse d'indépendance.
J'ai reçu l'indice suivant : $\displaystyle\sum_{j=0}^{n-k} X_jX_{j+k} =\sum_{q=0}^{k} \sum_{\substack{j=0 \\ j \equiv q [k+1]}}^{n-k} X_jX_{j+k} $.
Je vois bien pourquoi l'égalité est vraie, je ne vois en revanche pas DU TOUT en quoi elle pourrait être utile, à vrai dire elle me perd davantage. Apparemment cela conduirait à une utilisation possible de la loi forte des grands nombres mais je suis dans le brouillard total.
En vous remerciant de l'attention que vous porterez à ce post.

Poirot · February 2023

Tu peux chercher à montrer que, à $q \in \{0, \dots, k\}$ fixé, $X_qX_{q+k}$ et $X_{q+k+1}X_{q+k+k+1}$ sont indépendantes par exemple, ça devrait te mettre sur la voie.

plsryef · February 2023

Comment tu sais que $\mathbb{E}(X_0X_k)$ existe ?

Chronixal · February 2023

plsryef : Par hypothèse nous savons que les variables admettent un moment d'ordre 2.

Poirot : Je ne suis pas sûr de bien comprendre l'indication.

P.2 · February 2023

Ben ecris le cas $k=1$ avec des petits points plutot que le signe sigma.

JLapin · February 2023

Chronixal a dit :

plsryef : Par hypothèse nous savons

Toi, oui car tu as l'énoncé complet sous les yeux mais ce n'est pas dans ton post initial.

Par ailleurs, peux-tu stp préciser le type de convergence attendu par ton énoncé ? J'avoue ne pas reconnaître l'exo par manque de culture probabiliste.

Poirot · February 2023

Le problème dans ta somme initiale c'est que $X_0X_k$ et $X_kX_{2k}$ ne sont pas indépendantes en général. La décomposition avec les congruences modulo $k+1$ permet de se ramener à $k$ sommes de variables indépendantes. L'exemple que je t'ai donné dans le message précédent correspond à deux des termes d'une telle somme pour un $q$ fixé.

Barjovrille · February 2023

Bonjour, je crois que le deuxième terme de Poirot c'est plutôt $X_{q+k+1}X_{q+2k+1}$.*

Si j'ai compris l'astuce c'est que tu n'as pas l'indépendance parce que tes termes sont trop proches au niveau des indices. Dans ta somme l'idée c'est de sommer en "sautant des indices" si le saut est assez grand ($|j-q| \geq k+1$) ta somme sur $j$ sera une somme de v.a indépendantes mais il faut prouver l'indépendance et après bien utiliser la loi forte.

edit: grillé par le deuxième message de Poirot

Poirot · February 2023

Oui j'ai corrigé le deuxième terme, merci.

Chronixal · February 2023

JLapin a dit :

Toi, oui car tu as l'énoncé complet sous les yeux mais ce n'est pas dans ton post initial.
Par ailleurs, peux-tu stp préciser le type de convergence attendu par ton énoncé ? J'avoue ne pas reconnaître l'exo par manque de culture probabiliste.

Oui pardon j'ai oublié l'hypothèse correspondante. C'est un résultat statistique. On nous donne un estimateur "naturel" et on regarde sa convergence asymptotique. L'estimateur en question est le suivant. Si $k\leq1$ alors :
$$r_n(k) = \displaystyle\frac{1}{n-k+1} \displaystyle\sum\limits_{j=0}^{n-k} (X_j-\overline{X_n})(X_{j+k} - \overline{X_n})$$

Avec $\overline{X_n}$ étant la moyenne empirique. En developpant la somme on obtient 4 sommes distinctes, les 3 dernières convergent bien par la LGN que je peux appliquer directement étant donné que j'ai des variables aléatoires indépendantes, en revanche c'est la première qui me pose soucis (celle marquée dans le premier message).

Cela converge vers $r(k)=Cov(X_0,X_k) = \mathbb{E}(X_0X_k) - \mathbb{E}(X_0)\mathbb{E}(X_k)$ et c'est ça le but véritable de ma question.

Poirot a dit :
Tu peux chercher à montrer que, à $q \in \{0, \dots, k\}$ fixé, $X_qX_{q+k}$ et $X_{q+k+1}X_{q+k+k+1}$ sont indépendantes par exemple, ça devrait te mettre sur la voie.

Je ne vois aucune hypothèse permettant de dire que $X_qX_{q+k}$ et $X_{q+k+1}X_{q+2k+1}$ sont indépendantes.

J'aurais hypothétiquement à montrer que : $\mathbb{P}(X_qX_{q+k} \cap X_{q+k+1}X_{q+2k+1} ) = \mathbb{P}(X_qX_{q+k})\mathbb{P}(X_{q+k+1}X_{q+2k+1})$

Je ne vois même pas pourquoi un saut d'indice règlerait le problème de l'indépendance ! Je suis complètement à la ramasse.

Poirot · February 2023

Les quantités à gauche et à droite de ta formule $\mathbb{P}(X_qX_{q+k} \cap X_{q+k+1}X_{q+2k+1} ) = \mathbb{P}(X_qX_{q+k})\mathbb{P}(X_{q+k+1}X_{q+2k+1})$ n'ont pas de sens mais passons. Connais-tu le lemmes des coalitions ? Il te donne l'indépendance immédiatement.

Pour le saut d'indice, je l'ai expliqué dans mon précédent message. Si tu considères tous tes $X_j X_{j+k}$ simultanément, ils ne sont en général pas indépendants, car tu trouves $X_0 X_k$ et $X_k X_{2k}$ parmi eux et, au moins intuitivement, ils ne sont pas indépendants car la connaissance de $X_k$ donne des informations sur les deux.

Chronixal · February 2023

Poirot
D'accord merci pour vos éclaircissements.
Oui la fatigue me fait écrire n'importe quoi j'ai écrit des probabilités de variables aléatoires et non d'évènements c'est ridicule.
Non je ne connais absolument pas ce lemme, merci de l'ajouter à mon arsenal de résultat !

Et merci pour votre exemple, très clair.

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

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