Trouver des formules pour certains déterminants
dans Algèbre
Bonjour,
J'essaie de répondre au problème suivant :
a). Calculer $\det ((a_{ij})_{1\leqslant i,j\leqslant n})$ si $a_{ij}=\begin{cases}a,\quad i=j\\ b,\quad i\not=j\end{cases}$ avec $a,b\in {\bf Z}$.
b) . Calculer $\det ((b_{ij})_{1\leqslant i, j\leqslant n})$ si $b_{ij}=\begin{cases}a,\quad i=j\\(-1)^{|i-j|}b,\quad i\not=j\end{cases}$ avec $a\in {\bf Z}$ et $b\in {\bf Z}^{+}$.
J'ai réfléchi à ces problèmes, donc a priori ce sont les restrictions. Cependant, il est fort possible que ce soit déjà une vieille question avec une meilleure généralisation, je ne sais pas. Pour a) je pense qu'on peut trouver une formule en écrivant $A=B+(a-b)I$ et rang de $B$ égal à $1$ avec toutes les entrées égales à $b$ . Pour b) Il semble que la même idée ne s'applique pas, donc pas d'idées. Peut-on utiliser la théorie des valeurs et des vecteurs propres ?
Cordialement.
J'essaie de répondre au problème suivant :
a). Calculer $\det ((a_{ij})_{1\leqslant i,j\leqslant n})$ si $a_{ij}=\begin{cases}a,\quad i=j\\ b,\quad i\not=j\end{cases}$ avec $a,b\in {\bf Z}$.
b) . Calculer $\det ((b_{ij})_{1\leqslant i, j\leqslant n})$ si $b_{ij}=\begin{cases}a,\quad i=j\\(-1)^{|i-j|}b,\quad i\not=j\end{cases}$ avec $a\in {\bf Z}$ et $b\in {\bf Z}^{+}$.
J'ai réfléchi à ces problèmes, donc a priori ce sont les restrictions. Cependant, il est fort possible que ce soit déjà une vieille question avec une meilleure généralisation, je ne sais pas. Pour a) je pense qu'on peut trouver une formule en écrivant $A=B+(a-b)I$ et rang de $B$ égal à $1$ avec toutes les entrées égales à $b$ . Pour b) Il semble que la même idée ne s'applique pas, donc pas d'idées. Peut-on utiliser la théorie des valeurs et des vecteurs propres ?
Cordialement.
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