Couple de nombres premiers

kolotoko · February 2023

Bonjour,
j'ai cherché des couples (p,q) de nombres premiers vérifiant $2p^2 - q^2 = 1 $.

J'ai trouvé les couples suivants :
(5, 7) car 2*25 - 49 =1
(29, 41) car 2*29^2 - 41^2 = 2*841 - 1681 = 1.
J'ai aussi trouvé (44 560 482 149, 63 018 038 201) .

Je n'ai pas d'autres solutions en nombres inférieurs à cent millions de milliards.
Comment résoudre ce problème. ?
Bien cordialement.
kolotoko.

LEG · February 2023

Bonjour
Tu veux dire que tu as vérifié tous les nombres premiers $q < 63018038201$ ou $q < 63018038227$ ...?
Peut être qu'il ne doit pas y avoir beaucoup de solutions, voir qu'un nombre limité.
Car en regardant les carrés de q = 41 modulo 30 et tel que $\sqrt{(41[30]^2 +1)/2}$ soit un entier et en plus premier, ça ne court pas les rues ...
Même avec les carrés de 7 modulo 30 ... et autres
Bonne chance ...

Math Coss · February 2023

On sait paramétrer les solutions entières de $2x^2-y^2=1$ par les puissances impaires de $1+\sqrt2$.

sage: K.=NumberField(x^2-2)
sage: def s(k):
....:     a, b = (1+r2)^k, (1-r2)^k
....:     return ((a+b)/2,(a-b)/2/r2)
....: 
sage: [(k,s(k)) for k in range(1000) if k%2==1 and is_prime(ZZ(s(k)[0])) and is_prime(ZZ(s(k)[1]))]
[(3, (7, 5)),
 (5, (41, 29)),
 (29, (63018038201, 44560482149)),
 (59, (19175002942688032928599, 13558774610046711780701))]

(Une demi-minute de calcul environ. Pour donner un ordre de grandeur, les composantes de $(1+\sqrt2)^{999}$, la dernière puissance examinée, ont environ 380 chiffres.)

kolotoko · February 2023

Bonjour,
bravo et merci Math Coss.
Bien cordialement.
kolotoko

kolotoko · February 2023

Bonjour,
on retrouve les valeurs indiquées par Math Coss dans A118612 et A086397 de O.E.I.S.
Bien cordialement
kolotoko

Math Coss · February 2023

Ça c'est normal : les solutions de $x^2-2y^2=\pm1$ donnent lieu aux convergents $x/y$ (du développement en fraction continue) de $\sqrt{2}$. Les deux suites en question sélectionnent les nombres premiers là-dedans. Apparemment, le quatrième couple qu'a trouvé Sage est le plus grand connu.

Couple de nombres premiers

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