Équation fonctionnelle
Bonjour
Je suis un peu bloqué avec l'équation $f\left(\frac{x+y}{3}\right) = \frac{f(x)+f(y)}{2}$ avec $f$ fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et continue en $0$.
Je suis un peu bloqué avec l'équation $f\left(\frac{x+y}{3}\right) = \frac{f(x)+f(y)}{2}$ avec $f$ fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et continue en $0$.
De manière triviale, je constate que $f(t)=0$ pour tout réel $t$ est une solution.
J'ai testé pour $f$ une fonction linéaire et je reviens à $f(t)=0$.
J'ai l'impression que c'est la seule solution, comment puis-je conclure ?
Réponses
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De manière tout aussi triviale, toute constante est solution, ce qui permet de supposer que $f(0)=0$ si l'on veut.
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Remplace $y$ par $x$ et vérifie par récurrence que $f(x)=f((2/3)^n x)$.
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$\forall x \in \mathbb{R}, \; f(2x) = f(x)$ permet de mieux s'en sortir. P.S. : Grillé par @Math Coss et @JLapin.
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