Fonction "somme des facteurs premiers"
Bonjour à tous
Pour mes 4e, j'avais crée un petit exercice à base de nombres "amis", que j'ai définis comme étant deux nombres dont les sommes des facteurs premiers sont égales (ce n'est pas la définition usuelle, mais je trouvais celle là plus pertinente dans le cadre de ce que je voulais leur faire bosser).
Est-ce que vous savez s'il y a des travaux sur ces nombres ? Si on note s(x) la somme des facteurs premiers de x, on se trouve avec une fonction super bizarre, dont je n'ai pas pu tirer grand chose. ( ker(s - I) c'est l'ensemble des nombres premier et 4, s(xy) = s(x) + s(y), les classes d'équivalence sont finies, mais difficile de dire grand chose sur leur cardinal. On peut étendre s à Q en posant s(p/q) = s(p) - s(q), pour avoir un morphisme (Q+*, x) -> (Q/s, +) et là ça devient vraiment le bazar ^^').
J'imagine bien que, vu qu'il y a des nombres premiers derrière, ça va être forcément tordu, mais s'il y avait des résultats connus derrière ça m'intéresserait beaucoup !
Pour mes 4e, j'avais crée un petit exercice à base de nombres "amis", que j'ai définis comme étant deux nombres dont les sommes des facteurs premiers sont égales (ce n'est pas la définition usuelle, mais je trouvais celle là plus pertinente dans le cadre de ce que je voulais leur faire bosser).
Est-ce que vous savez s'il y a des travaux sur ces nombres ? Si on note s(x) la somme des facteurs premiers de x, on se trouve avec une fonction super bizarre, dont je n'ai pas pu tirer grand chose. ( ker(s - I) c'est l'ensemble des nombres premier et 4, s(xy) = s(x) + s(y), les classes d'équivalence sont finies, mais difficile de dire grand chose sur leur cardinal. On peut étendre s à Q en posant s(p/q) = s(p) - s(q), pour avoir un morphisme (Q+*, x) -> (Q/s, +) et là ça devient vraiment le bazar ^^').
J'imagine bien que, vu qu'il y a des nombres premiers derrière, ça va être forcément tordu, mais s'il y avait des résultats connus derrière ça m'intéresserait beaucoup !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Mais ton lien a une référence vers la fonction dont je parlais, merci!
Je ne connaissait pas ce site, il va falloir que je m'y plonge...
s est bien morphisme après extension (de $(\Q^*_+, \times)$ dans $(\Z, +)$), mais bon là parler d'identité n'a plus trop de sens, donc effectivement mon ker(s-I) est maladroit.
$t(n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n s(i)$
Ou cette autre fonction :
$t(n) = \frac{1}{n \times \ln(n)} \sum_{i=1}^n s(i)$
Je ne serais pas étonné que cette dernière fonction ait une limite finie quand $n$ tend vers l'infini.
$$A^\star (n) := \sum_{p^\alpha \| n} p.$$
Cette notation est donnée en référence à la fonction d'Alladi-Erdös (étudiée en 1977), notée $A$, définie par
$$A := \sum_{p^\alpha \| n} \alpha p.$$
Bien évidemment, de nombreux travaux ont étudié ces fonctions, auxquelles on peut ajouter les fonctions additives suivantes :
$$\Omega_\ell(n) := \sum_{p^\alpha \| n} \alpha^\ell, \quad A_\ell(n): = \sum_{p^\alpha \| n} \alpha^\ell p, \quad B(n) := A(n) - A^\star(n), \quad T(n) := \sum_{p^\alpha \| n} {\alpha + \ell - 1 \choose \ell}.$$
Toutes ces fonctions appartiennent à une même classe de fonctions additives, et partagent peu ou prou les mêmes résultats.