Cardinalité des bases d'un module libre
Bonsoir à tous
Considérons un anneau $A$ commutatif, les $A$-modules libres $A^n$ et $A^m$ sont isomorphes en tant que $A-$ modules si et seulement si $n=m.$
Considérons un anneau $A$ commutatif, les $A$-modules libres $A^n$ et $A^m$ sont isomorphes en tant que $A-$ modules si et seulement si $n=m.$
Dans mes lointains souvenirs, on peut l'établir en considérant les $k=A/M$-espaces vectoriels $A^n/MA^n$ et $A^m/MA^m$, où $M$ est un idéal maximal de $A.$ Ils sont alors eux-même isomorphes et donc $n=m$. Cela permet de définir la dimension d'un $A$-module libre sans ambiguïté.
Je vous propose d'établir le résultat à l'aide de la trace matricielle $Tr(M) = \sum m_{i,i}$, où $M$ désigne une matrice quelconque à coefficients dans $A.$
On précisera les formules utilisées, les raisons pour lesquelles elles sont valables, et les limites du raisonnement.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses