Comparaison des normes deux et infinies

Bonsoir,

Pour tout $\lambda \geq 0$, on note $f_{\lambda}$ l'élément de $C([0,1])$ défini par $f_{\lambda} (x)=x^{\lambda}$. $f_0$ est la fonction constante égale à $1$.
On a : $N_{\infty} (f)= \sup_{x \in [0,1]} |f(x)|$ et $N_2(f)=\left (\displaystyle\int_{0}^1 | f(x)|^2 dx\right)^{1/2}$.
On pose : $V_0 = \{ f \in C([0,1]) \ | \ f(0)=0 \}$.
1) Montrer que pour tout $f \in C([0,1])$ on a $N_2(f) \leq N_{\infty} (f)$. En déduire que pour toute partie $A$ de $C([0,1])$ on a $\bar{A}^{\infty} \subset \bar{A}^2$.
2) Montrer que $f_0 \in \bar{V_0}^2$.
3) Montrer que $V_0$ est dense dans $C([0,1])$ pour la norme $N_2$ mais n'est pas dense pour la norme $N_{\infty}$.
4) Montrer que si $V$ est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel normé, son adhérence $\bar{V}$ est également un espace vectoriel.
5) Montrer qu'un sous-espace vectoriel $V$ de $C([0,1])$ est dense pour la norme $N_{\infty}$ si et seulement si $\forall m \geq 0 \ f_m \in \bar{V}^{\infty}$.
6) En déduire qu'un sous-espace vectoriel $V$ de $C([0,1])$ est dense pour la norme $N_2$ si et seulement si $\forall m \geq 0 \ f_m \in \bar{V}^{2}$.

1) Soit $f \in C(|0,1])$. 
On a $\forall x \in [0,1] \ |f(x)| \leq \sup_{x \in [0,1]} |f(x)$ donc $|f(x)|^2 \leq N_{\infty} (f)^2$. 
Donc $\displaystyle\int_{0}^1 |f(x)|^2 dx \leq  N_{\infty} (f)^2$.
Finalement $\boxed{N_2(f) \leq  N_{\infty} (f)}$
Soit $f \in \bar{A}^{\infty}$, alors il existe une suite $(f_n)$ d'éléments de $A$ qui converge vers $f$ pour la norme infinie. On a donc $N_{\infty} (f_n-f) \longrightarrow 0$.
Donc $N_2(f_n-f) \leq N_{\infty} (f_n-f) \longrightarrow 0$ d'où $N_{2} (f_n-f) \longrightarrow 0$.
On a montré l'existe d'une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $f$ pour la norme deux.
Donc $\boxed{\bar{A}^{\infty} \subset \bar{A}^{2}}$.

2) Je ne vois pas comment traiter cette question. Il faut trouver une suite d'éléments de $V_0$ qui converge vers $f_0$ mais je ne sais pas comment la trouver.