À propos des corps d'inertie et de décomposition

noradan · January 2023

$\def\rm{\sqrt[3]{m}}\def\fp{{\frak p}}\def\fP{{\frak P}}$ Je médite à propos de $L={\Bbb Q}[j,\rm]$.
Je considère $p\in{\Bbb Z}$ premier $p=-1\mod3$. $p$ est inerte dans $k_2={\Bbb Q}[j]$ et s'écrit $\fp_1\fp_2$ dans $k_3={\Bbb Q}[\rm]$ où
$\fp_1$ est de degré 1 et $\fp_2$ de degré 2 (car $m$ admet une unique racine cubique mod p).

Dans $L$, $p$ ne peut que s'écrire $\fP_1\fP_2\fP_3$ à cause de l'inertie dans $k_2$ et de $[L:k_2]=3$. La question que je me pose est alors
: Qu'en est-il des groupes (ou des corps) de décomposition et d'inertie ?

Comme $f(\fP_1)=2$, le seul corps possible pour être de décomposition (tel que $ef=2$) est $k_3$. Sauf que je lis partout "Le corps de décomposition est le plus grand corps tel que $e=f=1$" sauf qu'ici $f(\fp_2)=2$. ou encore que $g=g$ dans le corpsde décomposition sauf qu'ici $g=2$ dans $k_3$ et $=3$ dans $L$.

Quelque chose m'échappe ! Comment justifier $K_Z=k_3$ avec un argument positif, sans dire "parce que $k_2$ est impossible" et qu'il n'y a pas d'autre candidat ?
Merci.

noradan · January 2023

$\def\fd{{\frak d}}\def\fa{{\frak a}}\def\fb{{\frak b}}\def\fm{{\frak m}}\def\fp{{\frak p}}\def\fP{{\frak P}}\def\ff{{\frak f}}\def\fii{{\frak i}} \def\a{\alpha}\let\b\beta \def\cO{{\cal O}}\let\f\frac \let\r\sqrt\def\H{{\Bbb H}} \def\Z{{\Bbb Z}}\def\Q{{\Bbb Q}}\def\K{{\Bbb K}}$Effectivement quelque chose m'échappait et je disais des bêtises.

À force de lire des exemples stupides (au mieux biquadratique) on en arrive à inventer des énormités. Dans une biquadratique tous les sous-corps sont galoisiens et l'on en arrive à penser que le corps de décomposition ne dépend pas du facteur premier ; ce qui est une ânerie.
J'ai même vu certains auteurs faire un joli tableau pour comparer les divers $e,f,g$ des corps $\K_Z,\,\K_I,\,\K_T$ et écrire des choses comme $g=g$ ce qui incite à penser que dans $\K_Z$ le nombre de facteurs premiers est le même que dans le corps final. Ce qui est complètement faux, la preuve avec cette extension de degré $6$.
Dans le cas présent, il y a trois corps de degré 3 :

$\Q[\r[3]m]=k_3,\ \Q[j\r[3]m]=k'_3,\ Q[j²\r[3]m]=k''_3$,
$\fp_1$ est bien inerte dans $L$ et c'est SON corps de décomposition qui vaut $k_3$. $\fP_1$ provient en fait par exemple de la décomposition de $p$ dans $k'_3$ où c'est lui qui est de degré $1$. Concrètement, avec $m=7$ et $p=5 (=-1\mod3$) on aurait
$\fp_1=(5,\r[3]7-3)$, $\fp_2=(5,\r[3]{49}-2\r[3]7-1)$,
$\fP=(5,\r[3]7-3)$, $\fP_1=(5,j\r[3]7-3)$, $\fP_2=(5,j^2\r[3]7-3)$
qui sont issus du facteur $(5,g-2)$ ,où $g$ est le générateur de $k_3$, $k'_3$, $k''_3$ et sont également les images de $\fp$ par l'automorphisme "multiplication par $j$".

À propos des corps d'inertie et de décomposition

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