Diviseur de 0

Lolo36 · January 2023

Bonjour
Dans mon cours, il est dit : Soit (A,+,x) un anneau. Un diviseur de 0 est un a dans A\{0} tel qu'il existe un b dans A\{0} tel que ab=0 ou ba=0.

Ok mais 0 est un diviseur de 0, et là dans la définition, un diviseur de 0 est un nombre non nul, donc problème.
Merci.

NicoLeProf · January 2023

C'est une conséquence de la non-intégrité de l'anneau $(A,+,.)$ . Prenons un exemple : dans $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, on a : $\bar{2} \times \bar{3} = \bar{0}$ . Les éléments $\bar{2}$ et $\bar{3}$ de $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ sont des diviseurs de $0$ ce qui prouve le fait qu'il ne s'agit pas d'un anneau intègre.

Tu peux trouver un autre exemple dans l'anneau $(M_2(\mathbb{R}),+,.)$ : le produit de deux matrices non nulles à coefficients réels peut être nul !

Par convention, un diviseur de $0$ est un nombre non nul (et ainsi $0$ n'est pas diviseur de $0$) dans les cours que j'ai lus.

Lorsque l'anneau $(A,+,.)$ est non réduit à $\{0\}$ et est intègre, il n'y a pas de diviseur de $0$ dans $A$ (comme $\mathbb{R}$ et $\mathbb{Z}$ par exemple) .

JLapin · January 2023

@Lolo36
Effectivement, c'est un conflit d'appellation. L'idée c'est qu'on présente un "diviseur de $0$" pour mettre en évidence un défaut d'intégrité (cf les exemples ci-dessus).

Mais on dit aussi que $0$ divise $0$ dans l'anneau $A$ car $0\in 0A$. Bref, c'est une question de contexte.

NicoLeProf · January 2023

Oui cela dit la convention "$0$ divise $0$ dans l'anneau $A$" n'invalide pas le fait qu'il n'y ait pas de diviseur de $0$ dans un anneau intègre car les diviseurs de $0$ sont définis comme étant non nuls, ainsi, le "$0$ divise $0$" est une convention.
Ne pourrait-on pas dire pour gagner en précision : "un anneau est intègre si et seulement s'il n'existe pas de diviseur de $0$ non nul"?

JLapin · January 2023

@NicoLeProf
Admets tout de même que entre

$0$ divise $0$ dans l'anneau $A$

et

$0$ n'est pas un diviseur de $0$ dans l'anneau $A$,

il est compliqué pour un débutant de s'y retrouver

gerard0 · January 2023

Heu ... Lolo36 alias Easyjet a eu le même genre de réponse avant de poser la question ici. Et il le savait en écrivant, puisqu'il avait répondu.

Très impoli ça !

NicoLeProf · January 2023

Oui l'appellation n'est pas très pratique je trouve ! ^^'

On doit pouvoir trouver une définition incluant $0$ dans certains livres je pense.

Par exemple : $a \in A$ est un diviseur de $0$ si et seulement s'il existe $b \in A \setminus \{0\}$ tel que $a.b=0=b.a$ .

Avec cette définition, pas de problème : dans tout anneau où $0$ est absorbant pour la loi "." , $0$ est un diviseur de $0$ si je ne m'égare pas ! ^^'

Lolo36 · January 2023

gerard0 a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2406379/#Comment_2406379

[Inutile de recopier l’avant dernier message. Un lien suffit. AD]

Ah c'est vous

Content de vous retrouver ici, non je voulais simplement avoir l'avis de la communauté, c'est tout. Mais vous m'avez bien répondu sur l'autre forum.

Lolo36 · January 2023

Ok merci pour vos réponses, j'ai saisi la chose.

GaBuZoMeu · January 2023

Bonsoir,

En fait TOUT élément $a$ de l'anneau divise $0$ puisque $a\times 0=0$.
Mais ce qui est défini ici est la notion de diviseur-de-zéro (je mets des tirets pour souligner que cette expression est en fait un bloc).
En prenant les choses par l'autre bout, on dit qu'un élément $a$ de l'anneau est régulier quand pour tout élément $b\neq0$ , on a $ab\neq0$ et $ba\neq0$.
Un élément non nul de l'anneau est un diviseur-de-zéro si et seulement s'il n'est pas régulier.

gerard0 · January 2023

Bien vu ! Deux fois la même question, deux fois la même réponse.

Cordialement.

Lolo36 · January 2023

vous avez vu ça gerard0, c'est du génie

Je propose de fusionner les deux forums, ce sera plus simple.

Lolo36 · February 2023

Peut-être que je me trompe, mais $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, c'est pas aussi un abus de notation ? car dans la notation, on ne précise pas par quelle relation on quotiente, alors qu'on rencontre ailleurs par exemple des écritures du style $E/\sim$.