Un petit exo de L1 sur les suites
Je retravaille en ce moment les séries numériques, et en bouquinant sur internet je suis tombé sur ce petit résultat
Soit $(u_n)_n$ une suite strictement positive et soit $L \in \R$. Si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \longrightarrow L$, alors $\sqrt[n]{u_n} \longrightarrow L$.
Il a toutes les chances d'être un énoncé "classique" qu'on pourrait rencontrer dans n'importe quel cours d'analyse, mais je ne l'avais jamais vu avant. Ce n'est pas un résultat techniquement difficile à prouver, mais il faut être un peu astucieux. C'est tout à fait faisable en L1, et j'aimerais inciter tout étudiant de L1/L2/prépa qui veut s'entraîner à tripatouiller du $\varepsilon$ à essayer de le démontrer par soi-même, sans corrigé à disposition. Je donnerai la source (qui contient un corrigé) plus tard.
Ce résultat a un intérêt sur les séries numériques : il implique que toute convergence de série démontrable avec la règle de d'Alembert se démontre aussi avec la règle de Cauchy ! Dans la pratique, il y a évidemment des études où le critère de d'Alembert est plus pratique, mais je n'avais jamais vu ça avant et je ne l'avais pas remarqué par moi-même non plus.
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Réponses
Rien n'assure que $L$ soit non nul. Une suite strictement positive peut avoir une limite nulle (comme $(\frac 1 n)_n)$.
Cordialement.
On peut poursuivre en regardant ce qui se passe quand les limites sont infinis ou s’intéresser à « si le quotient est bornée, qu’en est-il de la racine n-ieme ?» et bien entendu trouver des contre-exemples aux réciproques, etc.
Soit $a,b;\;0<a<L<b$. On note $v_n=\dfrac{u_n}{b^n}$ ; $w_n=\dfrac{a^n}{u_n}$.
Oui, ça on le lit partout, mais, quoi précisément dans le terme général de la série incite à prendre l'une ou l'autre ? C'est bien ça la question !
Le seul truc que j'ai remarqué pour l'instant, c'est que d'Alembert se comporte mieux quand il y a des factorielles qui traînent (avec Cauchy, on a souvent besoin d'utiliser l'équivalent par la formule de Stirling). Les puissances $n$-ièmes, on pense plutôt à Cauchy mais "selon le cas" justement, des fois d'Alembert marche très bien aussi.