Un petit exo de L1 sur les suites
Je retravaille en ce moment les séries numériques, et en bouquinant sur internet je suis tombé sur ce petit résultat
Soit $(u_n)_n$ une suite strictement positive et soit $L \in \R$. Si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \longrightarrow L$, alors $\sqrt[n]{u_n} \longrightarrow L$.
Il a toutes les chances d'être un énoncé "classique" qu'on pourrait rencontrer dans n'importe quel cours d'analyse, mais je ne l'avais jamais vu avant. Ce n'est pas un résultat techniquement difficile à prouver, mais il faut être un peu astucieux. C'est tout à fait faisable en L1, et j'aimerais inciter tout étudiant de L1/L2/prépa qui veut s'entraîner à tripatouiller du $\varepsilon$ à essayer de le démontrer par soi-même, sans corrigé à disposition. Je donnerai la source (qui contient un corrigé) plus tard.
Ce résultat a un intérêt sur les séries numériques : il implique que toute convergence de série démontrable avec la règle de d'Alembert se démontre aussi avec la règle de Cauchy ! Dans la pratique, il y a évidemment des études où le critère de d'Alembert est plus pratique, mais je n'avais jamais vu ça avant et je ne l'avais pas remarqué par moi-même non plus.
Réponses
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As-tu reconnu un cas particulier du théorème de Cesaro après avoir fini ta résolution ?
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Heureusement que j'ai dit que je voulais laisser chercher les gens sans indication !Et, non, parce que Cesaro je n'y pense jamais.
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Et moi, j'ai dit "après avoir fini ta résolution", pas avant
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Je me fais fort de démontrer le théorème de Cesaro à partir de cette implication !
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@JLapin my bad, en effet ! J'ai testé, je me coucherai moins bête ce soir.@Math Coss la source dont j'ai tiré ce truc démontre le résultat sans Cesàro, mais comme soulignait JLapin c'est assez expéditif avec. Si tu peux démontrer Cesàro avec ça, alors les deux sont équivalents, c'est toujours quelque chose qui a le mérite d'être intéressant.
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Merci JLapin pour l'indication, je n'aurais sans doute jamais trouvé sans ! ^^'
Du coup, je pense avoir une preuve (enfin quoique) : $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = L$ et $L>0$ car la suite $(u_n)$ est strictement positive. Donc par continuité de la fonction $\ln$ sur $]0;+\infty[$, $\lim\limits_{n \to +\infty} (\ln(u_{n+1})-\ln(u_n))=\ln (L)$ .Ainsi, $\forall \varepsilon >0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n > N,\ \ln(L) - \varepsilon <\ln(u_{n+1})-\ln(u_n)< \ln(L)+\varepsilon$ .Donc pour tout $n > N,\ \dfrac{n-N+1}{n} (\ln(L)-\varepsilon) < \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum\limits_{k=N}^{n} (\ln(u_{k+1})-\ln(u_k)) < \dfrac{n-N+1}{n} (\ln(L)+\varepsilon)$ .Mouais bon, c'est là où ça se passe mal : $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n-N+1}{n}=1$, donc intuitivement cette fraction n'a pas "d'impact" et j'ai envie de conclure que la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=\dfrac{1}{n}\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n} (\ln(u_{k+1})-\ln(u_k))$ converge vers $\ln(L)$ mais je ne vois pas comment rédiger ça proprement et me débarrasser de la fraction. (En effet, on écrit $v_n=\dfrac{1}{n}\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{N-1} (\ln(u_{k+1})-\ln(u_k))+\dfrac{1}{n}\displaystyle \sum\limits_{k=N}^{n} (\ln(u_{k+1})-\ln(u_k))$ et on constate que $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{N-1} (\ln(u_{k+1})-\ln(u_k))=0$).Le reste est ok : de plus, pour tout entier naturel $n$, $v_n=\dfrac{1}{n}(\ln(u_{n+1})-\ln(u_0))$ (somme télescopique).Donc pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{1}{n}(\ln(u_{n+1}))=v_n+\dfrac{1}{n} \ln(u_0)$ soit : $e^{\frac{1}{n}(\ln(u_{n+1}))}=e^{v_n} \times e^{\frac{1}{n} \ln(u_0)}$ i.e : $(u_{n+1})^{\frac{1}{n}}=e^{v_n} \times e^{\frac{1}{n} \ln(u_0)}$ .On a : $\lim\limits_{n \to +\infty} e^{\frac{1}{n} \ln(u_0)} = 1$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} e^{v_n}=L$ car la suite $(v_n)$ converge vers $\ln(L)$ et par continuité de la fonction exponentielle en $\ln(L)$. Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} (u_{n+1})^{\frac{1}{n}}=L$ .Mouais bon, je pense que c'est faux au final...
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Bonsoir.
Rien n'assure que $L$ soit non nul. Une suite strictement positive peut avoir une limite nulle (comme $(\frac 1 n)_n)$.Il faut donc traiter aussi le cas $L=0$.
Cordialement. -
Je donne la version "expéditive Cesàro" pour @NicoLeProf.Si $L>0$, pose $x_n = \dfrac{u_n}{u_{n-1}}$ (donc pour $n \geqslant 1$, à supposer que premier terme de $u$ est numéroté $u_0$, quitte à translater les indices ça marche). Si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \longrightarrow L$, alors $x_n \longrightarrow L$, donc $\ln(x_n) \longrightarrow \ln(L)$, d'où l'intérêt de supposer $L>0$. Par Cesàro, on a $\dfrac{\ln(x_1) + \dots + \ln(x_n)}{n} \longrightarrow \ln(L)$. Mais $\dfrac{\ln(x_1) + \dots + \ln(x_n)}{n} = \dfrac{1}{n}\ln(x_1\cdots x_n) = \ln(\sqrt[n]{x_1\cdots x_n})$, donc $\ln(\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}) \longrightarrow \ln(L)$, donc $\sqrt[n]{x_1\cdots x_n} \longrightarrow L$. Mais $x_1\cdots x_n = \dfrac{u_1}{u_0}\cdots \dfrac{u_n}{u_{n-1}} = \dfrac{u_n}{u_0}$, donc $\dfrac{1}{\sqrt[n]{u_0}}\sqrt[n]{u_n} \longrightarrow L$. Comme $\sqrt[n]{u_0} \longrightarrow 1$, en multipliant les deux limites on aboutit à $\sqrt[n]{u_n} \longrightarrow L$.Maintenant si $L=0$, je m'inspire librement de ma source pour ce fil*. Soit $\varepsilon > 0$, on sait qu'il existe un rang $N$ tel que $-\varepsilon \leqslant \dfrac{u_{k+1}}{u_k} \leqslant \varepsilon$ pour tout $k \geqslant N$. Soit donc $n \geqslant N$. Alors $\displaystyle (-\varepsilon)^n \leqslant \prod_{k=N}^n \dfrac{u_{k+1}}{u_k} \leqslant \varepsilon^n$. Le produit se télescope en $\dfrac{u_n}{u_N}$, et reste strictement positif, donc : $0< \dfrac{u_n}{u_N} \leqslant \varepsilon^n$, donc $0< u_n \leqslant u_N\varepsilon^n$, donc $0< \sqrt[n]{u_n} \leqslant \sqrt[n]{u_N}\varepsilon$.EDIT : je corrige quelques bêtises dans la fin.$u_N$ est une constante donc $\sqrt[n]{u_N} \longrightarrow 1$, de sorte qu'il existe un rang $N'$ tel que $\sqrt[n]{u_N} \leqslant 2$ pour tout $n \geqslant N'$. Donc pour tout $n \geqslant N'':=\max(N,N')$, on a : $0< \sqrt[n]{u_n} \leqslant 2\varepsilon$. C'est-à-dire $\sqrt[n]{u_n} \longrightarrow 0$.*C'est un lien Wayback Machine, des fois ça a du mal à charger.
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Attention : la racine $n$-ième de $u_N$ converge vers $1$ et pas $0$. Donc tu peux obtenir une majoration par $2\varepsilon$ à partir d'un certain rang (ce qui suffit).
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J'ai corrigé, je crois que mon cerveau a mécaniquement mis du "tend vers $0$" alors que c'est $1$ et je n'ai pas réfléchi
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Personne n’aura mentionné Cauchy et d’Alembert alors je le fais (test pour les séries… bien qu’ici on ne parle pas de série).
On peut poursuivre en regardant ce qui se passe quand les limites sont infinis ou s’intéresser à « si le quotient est bornée, qu’en est-il de la racine n-ieme ?» et bien entendu trouver des contre-exemples aux réciproques, etc. -
@Dom pour ma fiche de révisions, je suis à la recherche d'une "bonne" série où Cauchy marche mais pas d'Alembert. Si tu en as une sous la main, je suis preneur !Homo Topi a dit :Ce résultat a un intérêt sur les séries numériques : il implique que toute convergence de série démontrable avec la règle de d'Alembert se démontre aussi avec la règle de Cauchy !
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Si on admet la "condition suffisante" de d'Alembert pour les séries, voici une autre idée.
Soit $a,b;\;0<a<L<b$. On note $v_n=\dfrac{u_n}{b^n}$ ; $w_n=\dfrac{a^n}{u_n}$.Les séries $\sum v_n,\ \sum w_n$ sont alors d'Alembert-convergentes et les termes généraux ont une limite nulle. Ce qui résout le problème lorsque $L\in\R_+^*$.Pour les cas restants, n'utiliser que $a$ OU $b$.@Homo TopiJe pense que $u_{2n}=2^{-2n},\;u_{2n+1}=3*2^{-2n-1}$ est Cauchy-convergente mais la condition de d'Alembert ne marche pas. -
Dans le Tauvel il y a un exemple : soient $a,b\in \R$ tels que $0<a<1<b$. Si $n\in \N^{*}$, on note $\alpha_n$ le nombre de chiffres dans l'écriture décimale de $n$. La série de terme général $$u_n=a^{n-\alpha_n}b^{\alpha_n(1+\alpha_n)/2},$$ vérifie le critère de Cauchy mais pas celui de d'Alembert.Homo Topi a dit :
pour ma fiche de révisions, je suis à la recherche d'une "bonne" série où Cauchy marche mais pas d'Alembert. -
Mea Culpa, je me confonds en excuse. Ce matin ça sautait pas mal et j’ai fini par lire les petits messages qui suivaient le premier…Merci Poirot 😀
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Autre curiosité : ceci. Ils bricolent une série de terme général $u_n$ tel que $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \longrightarrow +\infty$ mais $\sqrt[n]{u_n}$ est censée permettre de conclure. J'ai quelques doutes sur le fait que leur exemple fonctionne effectivement : $\sqrt[n]{u_{2n}}$ et $\sqrt[n]{u_{2n+1}}$ n'ont pas l'air d'avoir la même limite quand $a\neq b$...Et aussi, j'ai des doutes quand à une série qui converge alors que son terme général vérifie $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \longrightarrow +\infty$ ! C'est possible, ça ?
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Bonjour Homo Topi.En fait, ce n'est pas $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \longrightarrow +\infty$, seulement $\dfrac{u_{2n+1}}{u_{2n}} \longrightarrow +\infty$ alors que $\dfrac{u_{2n}}{u_{2n-1}} \longrightarrow 0$.Ici, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ n'a pas de limite, et les limites inf et sup sont de part et d'autre de 1, donc la règle de D'Alembert ne permet pas de conclure.On ne peut pas faire mieux, la série ne peut pas à la fois converger et diverger.Cordialement.
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Ah, oui, il y a deux types de rapports à étudier, je n'ai fait que la moitié du travail.
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Merci Homo Topi et Gerard, j'avais oublié le cas $L=0$
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En fonction de l'énoncé du critère de Cauchy la série de terme général $e^{-n}\cos(n)$ est un bon exemple. On a $\limsup (e^{-n}\cos(n))^{1/n}\leq e^{-1}$ donc la série converge. EDIT : il faut rajouter une valeur absolue dans l'expression précédente pour qu'elle ait un sens. En revanche d'Alembert ne permet pas de conclure.Pour mes étudiants j'explique que si $\sqrt[n]{u_n}$ et $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ admettent une limite alors elle est égale. Le corollaire important de cela est que si l'on trouve $1$ comme limite avec d'Alembert ça ne sert à rien d'essayer Cauchy et vice versa.
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@Renart je sais qu'on peut énoncer la règle de Cauchy (et celle de d'Alembert aussi, peut-être ?) avec des limites inf/sup, mais mon petit cerveau préfère la version plus restrictive avec des limites "tout court".Par rapport au cas-limite $1$ : ta version de présenter les choses incite à faire deux calculs de limite. Et là, je me pose une question pour les étudiants.J'ai toujours appris qu'en mathématiques, il faut savoir être un flemmard efficace. Le résultat dont je parle dit que si la "limite d'Alembert" existe, alors la "limite Cauchy" aussi et c'est la même (donc, avec les deux règles de d'Alembert et de Cauchy, on conclut la même chose quant à la nature de la série). D'un côté, je me dis qu'il est plus judicieux de commencer par calculer uniquement la "limite d'Alembert", parce que si on tombe sur $1$, la règle de Cauchy ne permet pas de conclure, mais on peut affiner les calculs qu'on vient de faire pour appliquer la règle de Raabe-Duhamel ou celle de Gauss... et si les calculs pour d'Alembert sont vraiment moches, on ferait mieux d'arrêter d'essayer et de parier sur Cauchy. De l'autre, je me dis qu'il existe plus d'exemples où Cauchy conclut que d'exemples où d'Alembert conclut (mais encore une fois, d'Alembert se laisse affiner).Quand le temps compte (partiel, épreuve de concours...) je ne suis honnêtement pas sûr quelle approche est la plus rentable. Et c'est difficile de faire suffisamment d'exercices sur "juste ça" pour développer une intuition solide sur quelle règle marche mieux selon la tronche de la série.
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Voici un exemple simple : la suite $(u_n)$ de terme général $(1/3)^{\lfloor n/2\rfloor}$ vérifie $\sqrt[n]{u_n} \to {\sqrt{1/ 3}}$ donc $\sum u_n$ est convergente par critère de Cauchy. Mais $u_{n+1}/u_n$ n'a pas de limite.
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Le choix d’une des règles plutôt qu’une autre se fait aussi selon « la tête » de la suite.
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Dom
Oui, ça on le lit partout, mais, quoi précisément dans le terme général de la série incite à prendre l'une ou l'autre ? C'est bien ça la question !
Le seul truc que j'ai remarqué pour l'instant, c'est que d'Alembert se comporte mieux quand il y a des factorielles qui traînent (avec Cauchy, on a souvent besoin d'utiliser l'équivalent par la formule de Stirling). Les puissances $n$-ièmes, on pense plutôt à Cauchy mais "selon le cas" justement, des fois d'Alembert marche très bien aussi.[Inutile de reproduire le message précédent. AD] -
Je pense qu'il vaut mieux commencer par essayer "Cauchy" ! Si ça marche, c'est fini, sinon "d'Alembert" ne marchera pas non plus...Mais je reconnais ne pas toujours suivre cette logique.N.B. l'utilisation de la limite supérieure permet de conclure avec "Cauchy" (d'où la formule d'Hadamard pour le rayon de convergence) mais "d'Alembert" peut échouer même en prenant limites sup et inf.@Renart : $\sqrt[n]{e^{-n}\cos n}$ ?Il manque une valeur absolue, non ?
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Je ne faisais pas le lien avec Hadamard... heureusement que je retravaille ça avec le forum, j'apprends des trucs au passage !
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Homo topi : je ne comprends pas ta remarque sur mon incitation à calculer deux limites. Je dis exactement l'inverse non ? Si la limite d'un des deux critères est $1$ alors l'autre critère donnera soit $1$ soit pas de limite, dans les deux cas on ne peut pas conclure (je prends ici le cas de d’Alembert et Cauchy énoncés avec des limites, pas des limites supérieures).Pour savoir quoi choisir entre Cauchy et d'Alembert... Il n'y a pas d'algorithme permettant à coup sûr de savoir quel critère utiliser. Tu demandes ce qui incite "précisément" à prendre tel ou tel critère mais il n'y a pas de réponse précise. La règle vague que je suis est : si le terme général de ma série comporte des produits, des fonctions puissances/exponentielles, des quotients, des factoriels et autres choses qui s'apparentent à des produits ou se comportent bien vis à vis du produit j'essaye d'Alembert parce que le quotient aura probablement une écriture sympathique. Si j'ai des termes du genre $f(n)^n$ avec $f$ un peu compliquée (de sorte que $f(n+1)^{n+1}/f(n)^n$ serait pénible à estimer) j'utilise Cauchy.Rakam : tu as raison, je vais corriger ça !
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Tu as raison.
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