L’espace des applications linéaires

C'est la dimension de $\mathcal{M}_{mn}(\Bbbk)$ où $\left\{ \begin{array}{l} \dim E = m \\ \dim F = n \end{array} \right.$.

Ou bien se servir de l'indication de @Poirot pour montrer que $\text{Hom}(E,F) = E^* \otimes F$.

Je conseille de prendre un exemple, deux espaces vectoriels réels par exemple $E:=\mathbb R^2$ et $F:=\mathbb R^3$. Soit alors $f:E\to F$ linéaire. $f(x,y)=f(xi+yj)=xf(i)+yf(j), \text{ où } i=(1,0)\text{ et }j=(0,1)\text{ et, en posant } f(i)=(a,c,e)\in \R^3\text{ et }f(j)=(b,d,f)\in \R^3$. Il existe donc $a,b,c,d,e,f$ tels que $\forall (x,y)\in \mathbb R^2,\quad f(x,y)=(ax+by,cx+dy,ex+fy)=\begin{bmatrix}a & b \\c & d \\ e& f\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\in \R \begin{Vmatrix}1 & 0 \\0 &  0\\0 & 0\end{Vmatrix}+\R\begin{Vmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \\0 & 0\end{Vmatrix}+\dots+\R\begin{Vmatrix}0 &0  \\0 & 0 \\0 & 1\end{Vmatrix}, $
où $\begin{Vmatrix}1 & 0 \\0 & 0 \\0 & 0\end{Vmatrix} :\R^2\to\R^3,(x,y)\mapsto( x,0,0)$ par exemple. Ensuite appliquer les conseils précédents.