Suite

OShine · January 2023

Bonjour,

On se place dans un espace vectoriel normé.
Soit une suite $x_n$ qui tend vers $x$.
Pourquoi a-t-on $\inf_{n \in \N} ||x-x_n||=0$ ?

Barry · January 2023

Ca découle immédiatement de la définition de suite convergente et de celle de borne inférieure. Revois-les bien.

Antoine_F · January 2023

Parce que pour tout n, N(x-x_n) est plus grand que ton inf, et pour tout epsilon t'as un rang n tel que N(x-x_n) < epsilon...

Math Coss · January 2023

Cette trivialité étant acquise (tu parles !), posons-nous la question de la réciproque : est-elle vraie ?

Antoine_F · January 2023

Effectivement ça devient faux.

Math Coss · January 2023

Juste, faut écrire « faux » juste !

OShine · January 2023

Je connais parfaitement mes définitions de borne supérieure et de limite d'une suite.
Je ne vois toujours pas, je suis bloqué sur ça depuis 30 minutes.

On a $\inf_{n \in \N} ||x-x_n || \leq ||x-x_n||$ avec $||x-x_n|| \longrightarrow 0$.

Je ne vois pas comment utiliser que $||x-x_n||$ tend vers $0$, on ne peut pas passer à la limite car la borne inférieure dépend de $n$.

Math Coss · January 2023

OShine a dit :

On a $\inf_{n \in \N} ||x-x_n || \leq ||x-x_n||$ avec $||x-x_n|| \longrightarrow 0$.

Qui est $n$ dans les différentes parties de cette phrase ?

raoul.S · January 2023

OShine a dit :

car la borne inférieure dépend de $n$.

Non justement.

Barry · January 2023

Oui tu as raison, tu les connais sûrement(sans ironie) ! J'aurais plutôt dû parler de compréhension des définitions.

bd2017 · January 2023

Question. Que vaut la borne inférieure quand $n=1\ ?$ Puis quand $n=2\ ?$

Au minimum pour être sérieux, il serait bien de dire "la borne inférieure de quoi" ?

NicoLeProf · January 2023

Je mets un raisonnement à trous pour OShine (avec ce que je ferais comme démarche).

Soit $E$ un espace vectoriel normé.

La suite $(x_n)$ est une suite d'éléments de $E$ convergente vers $x \in E$.

Donc $\forall \varepsilon >0, \exists N \in \mathbb{N}$, $..................................$ .

Donc $\forall \varepsilon >0$, le nombre : $0+\varepsilon=\varepsilon$ n'est pas un $..............$ (que peut-on dire de $0+\varepsilon$ pour l'ensemble $\{||x_n-x||, n \in \mathbb{N} \}$? ) .

De plus $\forall n \in \mathbb{N}, ||x_n-x|| \geq 0$ car ......... .

Donc ...... (conclure).

Pour la réciproque, je considère la suite $(u_n)$ d'éléments de $\mathbb{R}$ telle $u_n=(-1)^n$ . On a pour tout entier naturel $n$, $|u_n-1| \in \{0;2\}$ donc $\inf\limits_{n \in \mathbb{N}} |u_n-1|=0$ et cela fournit un contre-exemple je pense car $(u_n)$ est divergente (n'a pas de limite ) .

OShine · January 2023

Ok merci, j'ai fait une confusion avec les variables muettes.

Soit $A= \{ ||x-x_n|| \ | \ n \in \N \}$. Utilisons la caractérisation de la borne inférieure.

$\forall n \in \N ,\ ||x-x_n|| \geq 0$ donc $A$ est minorée par $0$.
Comme $||x_n-x||$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers plus l'infini, $\forall \varepsilon >0, \ \exists n \in \N, \ ||x_n-x|| < \varepsilon$ donc il existe un élément de $A$ que l'on peut noter $y= ||x_n-x||$ tel que $y< \varepsilon+0$.

Finalement $\boxed{\inf_{n \in \N} ||x-x_n||=0 }$.
La suite définie par $u_n=n$ vérifie $|u_n-1|=|n-1|$. On a $\inf_{n \in \N} |n-1| =0$ mais $(u_n)$ ne tend pas vers $1$.

gebrane · January 2023

Une condition suffisante ( pas bidon) pour la réciproque dans $\R$ ?

lourrran · January 2023

Quand un étudiant sèche sur une question comme ça, il y a 2 cas de figure.
S'il ne connaît pas ses définitions, il y a un remède : apprendre les définitions.
S'il connaît ses définitions mais qu'il ne sait pas les appliquer, c'est plus grave, il n'y a pas de remède.

gebrane · January 2023

Merci lourrran, effectivement je sèche sur ma question et mon cours ne m'aide pas et je sais que c'est très grave.
Peux-tu m'aider sur la question

(Pour rappel OS n'est pas un étudiant)

Amédé · January 2023

Question au passage: $x_n\underset{n\infty}{\longrightarrow}x\Longleftrightarrow||x-x_n||\underset{n\infty}{\longrightarrow}0$?

Amédé · January 2023

Si $a=\inf\limits_{n\in\N}||x-x_n||$ alors puisque pour tout $n\in\N$, $0\leq ||x-x_n||$, l'inégalité $0\leq a\leq||x-x_n||$ est réalisée pour tout $n\in\N$ (définition de la borne inf). D'autre part $||x-x_n||\underset{n\infty}{\longrightarrow}0$...

J'ajoute que puisque la suite est convergente elle est bornée donc $a$ existe car $(||x-x_n||)_{n\in\N}\in\R^\N$.

OShine · January 2023

@Amédé
Lis les messages précédents, on a répondu.

Bibix · January 2023

$\displaystyle x_n \to x \implies \exists \varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, x_{\varphi(n)} \to x$ et $\exists \varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, x_{\varphi(n)} \to x \Longleftrightarrow \inf_{n \in \mathbb{N}} \|x_n - x\| = 0$.

Amédé · January 2023

OShine : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2405938/#Comment_2405938
Comment tu passes de :

Soit $A= \{ ||x-x_n|| \ | \ n \in \N \}$. Utilisons la caractérisation de la borne inférieure.
$\forall n \in \N ,\ ||x-x_n|| \geq 0$ donc $A$ est minorée par $0$.
Comme $||x_n-x||$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers plus l'infini, $\forall \varepsilon >0, \ \exists n \in \N, \ ||x_n-x|| < \varepsilon$ (AU PASSAGE IL MANQUE UN TRUC) donc il existe un élément de $A$ que l'on peut noter $y= ||x_n-x||$ tel que $y< \varepsilon+0$.

à :

Finalement $\boxed{\inf_{n \in \N} ||x-x_n||=0 }$.

Je dis peut-être une ânerie mais ton inf n'est pas uniformément borné par un truc qui tend vers 0.

gebrane · January 2023

Bibix a dit :
$\displaystyle \exists \varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, x_{\varphi(n)} \to x \Longleftrightarrow \inf_{n \in \mathbb{N}} \|x_n - x\| = 0$.

Il me semble que cette équivalence est fausse, OS a donné un contre avec $x_n=n$ et $x=1$

Bibix · January 2023

Rien n'empêche de prendre $\varphi(n) = 1$, mais $1$ n'est alors plus valeur d'adhérence de $(x_n)_n$, ce qui fait qu'il est difficile de simplifier cette caractérisation avec la suite minimisante.

OShine · January 2023

@Amédé
C'est la caractérisation de la borné inférieure, il y a deux conditions à respecter.

raoul.S · January 2023

Amédé a dit :

Je dis peut-être une ânerie mais ton inf n'est pas uniformément borné par un truc qui tend vers 0

OShine a montré que pour tout $\varepsilon>0$, il existe $y\in A$ tel que $y<\varepsilon$. Mais $\inf A \leq y$ donc on en déduit que pour tout $\varepsilon>0$, $\inf A \leq \varepsilon$ et pour finir $\inf A \leqslant 0$.

Sa preuve est correcte mais il manque le petit passage ci-dessus qui dans le cas d'OShine peut effectivement être suspect...