intérieur d'un sous-espace vectoriel

Soit $H$ un sous-espace d'un espace vectoriel topologique $E$. Si $U$ est non vide inclus dans $H$ alors $V=H+U=\cup_{h\in H}h+U$ est ouvert (car $x\mapsto h+x$ est un homéomorphisme de $E$). Soit $u\in U$. Alors $u\in H$ et donc, comme $H$ est un sev de $E$, $-u\in H$ donc $0_{E}\in V$. Comme l'application $\left(\lambda,x\right)\mapsto\lambda x$ est continue de $\mathbb{K}\times E$ dans $E$, $\frac{1}{n}x\underset{n}{\longrightarrow}0_{E}$ et donc pour au moins un $n$ assez grand, $\frac{1}{n}x\in V$ donc $x\in nV=n\left(H+U\right)\subset n\left(H+H\right)=H$. Donc $E\subset H$. Finalement, le seul sous-espace de $H$ d'intérieur non vide est $E$.

Soient $x,y$ dans $\overline{H}$ et $\lambda\in\mathbb{K}$. Soit $W$ un voisinage de $x+\lambda y$. Par continuité de $\left(u,v\right)\mapsto u+\lambda v$ au point $\left(x,y\right),$ il existe $U$ voisinage de $x$ et $V$ voisinage de $y$ tels que $U+\lambda V\subset W$. Par hypothèse sur $x$ et $y$, il existe $h_{x}\in H\cap U$ et $h_{y}\in H\cap V$. Alors $h_{x}+\lambda h_{y}\in H$ et $h_{x}+\lambda h_{y}\in U+\lambda V\subset W$ donc $W$ rencontre $H$ donc $x+\lambda y\in\overline{H}$.