TCL et loi de Poisson

Justement, je cherche un peu à savoir si c'est si casse-tête que ça... et la réponse m'a l'air d'être oui, sauf si c'est moi qui suis pas doué.

Alors, je tente ceci. On veut montrer que 
$$\frac{1}{\lfloor t\sqrt{\lambda} + \lambda\rfloor !} \int_{\lambda}^{\infty} e^{-x} x^{\lfloor t\sqrt{\lambda} + \lambda\rfloor} dx \longrightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^t e^{-\frac{x^2}{2}}dx$$. Je fais le changement $u=\lambda-x+t$ d'où $$\frac{1}{\lfloor t\sqrt{\lambda} + \lambda\rfloor !} \int_{-\infty}^{t} e^{-\lambda-t+u}(\lambda+t-u)^{\lfloor t\sqrt{\lambda} + \lambda\rfloor} du$$. 
Je pose $a=\lambda+t-u$ et $b=\lfloor t\sqrt{\lambda} + \lambda\rfloor = t\sqrt{\lambda} + \lambda + x$ avec $|x|<1$. On cherche donc la limite de $$\frac{e^{-a}a^b}{b!} \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-a+b\ln(a)-b\ln(b)+b-\frac12 \ln(b)}$$ grâce à Sterling.
On cherche donc à montrer que l'argument de l'exponentielle converge vers $-\frac{u^2}{2}$. 
On a $\ln(a)=\ln(\lambda)+\frac{t-u}{\lambda}+O\left(\frac{1}{\lambda^2}\right)$ et $\ln(b)=\ln(\lambda)+\frac{t}{\sqrt{\lambda}}+\frac{1}{\lambda}(x-\frac{t^2}{2})+O\left(\frac{1}{\lambda\sqrt{\lambda}}\right)$ et à la fin, j'ai juste le $-\frac12 \ln(b)$ qui fournit un $-\frac{1}{2} \ln(\lambda)$ qui me reste sur les bras. Si quelqu'un a le courage de regarder ça...

Et il faudra aussi la domination...
Bon, mais pour avoir du $u^2$, je pense déjà voir que je n'ai pas poussé assez loin le DL de $\ln(a)$...

Je ne vois pas trop où ça mène en fait. Déjà, ça n'envoie pas l'intervalle $[\lambda,+\infty[$ sur $]-\infty,t]$ et ensuite ça complique beaucoup l'intégrande. Maintenant, je n'ai peut-être pas cherché assez fort... Avec le changement $u=\lambda-x+t$, l'intervalle est bon donc pas le choix, l'intégrande doit converger vers $e^{-u^2/2}$...

Alors avec $v=-\frac{x-\lfloor t\sqrt{\lambda}+\lambda \rfloor}{\sqrt{\lambda}}$, j'envoie bien $[\lambda,+\infty[$ sur $]-\infty , a_{\lambda}]$ avec $a_{\lambda}$ qui tend vers $t$, joli ! 
J'arrive, par flemmardise, à conclure avec wolfram (cf-ci dessous). Je regarde pour la domination.

En effet. si on on pose $Y=\frac{X-\lambda}{\sqrt{\lambda}}=\frac{X}{\sqrt{\lambda}}-\sqrt{\lambda}$, alors $\phi_Y(t)=\phi_X\left(\frac{t}{\sqrt{\lambda}}\right)e^{-it\sqrt{\lambda}}=\exp(\lambda(e^{i\frac{t}{\sqrt{\lambda}}}-1)-it\sqrt{\lambda})=\exp(-\frac{t^2}{2}+o(1))$