Équations diophantiennes

kioups · January 2023

Bonjour,
je ne trouve pas l'astuce sur une équation diophantienne. J'ai d'ailleurs un doute sur l'exactitude de l'énoncé.

On doit résoudre l'équation $(4^{2022}-1)x+(2^{2023}+1)y=10^{2023}$.

Je suis resté un peu circonspect devant cet énoncé, je l'ai modifié en $(4^{2023}-1)x+(2^{2023}+1)y=10^{2023}$.
Là, j'ai pu factoriser le terme de gauche par $2^{2023}+1$. J'aurais donc envie de montrer que $2^{2023}+1$ ne divise pas $10^{2023}$. Mais ça ne me paraît pas aussi évident que ça...

Il y a un truc simple que je ne vois pas... si vous pouviez m'éclairer, merci !

Julia Paule · January 2023

Bonjour, comment peux-tu écrire tous les nombres qui divisent $10^{2023}$ ?

marco · January 2023

$a:=2^{2023}+1$ est premier avec $2^{2023}$, donc si $a$ divise $(2 \times 5)^{2023}$, alors $a$ divise $5^{2023}$. Donc $a=5^k$ pour $k>0$, car $a>1$. Donc $5$ divise $a$.
$2^{2023}=2^{2020+3}=2^{4n+3}$ avec $n=505$, et $2^4 \equiv 1 \pmod 5$, donc $2^{2023}\equiv 2^3 \equiv 3 \pmod 5$. Donc $a= 2^{2023} +1\equiv 4 \pmod 5$. Contradiction.

kioups · January 2023

Merci !

Et si on reste dans l'énoncé initial avec un 2022 à la place du 2023 ?

gebrane · January 2023

C'est une équation de Bézout qui admet des solutions si le $pgcd(4^{2022}-1, 2^{2023}+1)$ est un diviseur de $10^{2023}$

Je doute que ce soit le cas (j'ai la flemme pour le vérifier).

marco · January 2023

Soit $a:=2^{2023}+1$, $b:=4^{2022}-1$, alors $a \times (2^{2023}-1)=4^{2023}-1$.
$4b:=4^{2023}-4$.
Donc $3=(4^{2023}-1)-(4^{2023}-4) \in \Z a+\Z b$.
$a \equiv (-1)^{2023}+1 \pmod 3$.
$b \equiv 1^{2022} -1 \pmod 3$.
$3$ divise $a$ et $b$. Donc $3$ divise $10^{2023}$, ce qui est impossible.

Julia Paule · January 2023

$ax+by=c \Rightarrow pgcd(a,b) \mid c$. Il convient de calculer le pgcd $d$ de $4^{2022}-1=2^{4044}-1=(2^{2022}-1)(2^{2022}+1)$ et $2^{2023}+1$.

On a $pgcd (2^{2022}+1,2^{2023}+1)=1$ (car leur différence est paire).

Donc $d=pgcd (2^{2022}-1, 2^{2023}+1)=pgcd (2^{2022}+2, 2^{2022}-1)=pgcd (2^{2022}+2, 3)=pgcd (2^{2021}+1, 3)=3$, donc impossible car $3 \not \mid 10^{2023}$. (tout çà en utilisant $pgcd (a,b)=pgcd (b, a-kb)$.

kioups · January 2023

Merci beaucoup ! Il suffisait d'écrire les choses...

Julia Paule · January 2023

Oups plus simplement, on a $3 \mid 2^{2023}+1$ car $2 \equiv -1 \pmod 3$ et $3 \mid 4^{2022}-1$ car $4 \equiv 1 \pmod 3$, donc s'il existe une solution $(x,y)$ d'entiers, on a $3 \mid 10^{2023}$, impossible.

Math Coss · January 2023

Bien vu ! Maintenant que tu en parles, ça me revient : c'est un bon réflexe, face à une équation diophantienne, de la réduire modulo quelques petits nombres : $2$, $3$, $5$, $4$, $8$... Il y a un certain nombre d'équations que ça suffit à torpiller.

Julia Paule · January 2023

Ok, c'est à retenir.

kioups · January 2023

Purée, c'est tout simple comme ça... J'ai été happé par l'identité remarquable alors que c'était complètement inutile.

marco · January 2023

@Julia Paule: c'est ce que j'ai écrit.

Julia Paule · January 2023

Ok. Mais alors le début de ta preuve est inutile, en effet $3 \in \mathbb Z a + \mathbb Z b$ signifie que le pgcd de $a$ et $b$ divise $3$ et ne permet pas de conclure.

Équations diophantiennes

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