Reformulation axiomes de groupe Perrin

$\newcommand{\Sym}{\mathfrak{S}}$Merci pour ta réponse @stfj
Si $G$ est un sous-groupe du groupe symétrique du plan $\Sym(\mathscr{P})$, alors $G$ agit sur le plan par $\begin{array}{ll}G \times \mathscr{P}  &\longrightarrow \mathscr{P} \\ (u,A) &\longmapsto u(A) \end{array}$.
Le morphisme de $G$ dans $\Sym(\mathscr{P})$ associé à cette action est :
$\phi$ est donc l'injection canonique de $G$ dans $\Sym(\mathscr{P})$. Puisque $\phi$ est injectif, l'action de $G$ sur le plan est fidèle. stfj a dit :

 Seule la notion de drapeau de D. Perrin est bizarre. Tu pourrais développer "qui, en vertu des deux premiers points de l'axiome, laisse stable l'ensemble des drapeaux" ?

Soient $\mathcal{D}=(A,\delta,\mathcal{F})$ un drapeau, $\Delta$ la droite définie par $\delta$ et $u$ un mouvement.
On a $u \star \mathcal{D}=(u \star A, u \star \delta , u \star \mathcal{F})$, où $u \star \mathcal{F}$ est un demi-plan limité par la droite $u \star \Delta$ (d'après le deuxième point de l'axiome).
Ensuite $\delta \subset \Delta$ donc $u\star \delta \subset u \star \Delta$, et du premier point de l'axiome on doit pouvoir déduire (D. Perrin ne détaille pas ce point) que $u \star \delta$ est une demi-droite d'origine $u \star A$, ce qui fait bien de $u \star \mathcal{D}$ un drapeau.