Intégrale et inégalité
Bonjour
Soit $p(u,x):=(4 \pi u)^{-1/2} e^{-\frac{x^2}{4u}},\ u>0,\ x \in \mathbb{R}.$
Soit $\mathcal{E}:=\{\phi \in C_c^{\infty}(\mathbb{R})\mid \text{supp}(\phi) \subset B(0,1),\ ||\phi||_{\infty} \leq 1\}.$
Prouver que pour tout $U>0,$ il existe $\epsilon>0,\ C>0$ tel que pour tout $\lambda \in ]0,1],\ u,v \in [0,U],$ $$u\leq v \implies \sup_{x \in \mathbb{R}} \sup_{\phi \in \mathcal{E}}\left(\int_u^{v} \int_{\mathbb{R}} \left(\int_{\mathbb{R}} \phi_x^\lambda(y_1)p(v-r,y_1-y_2)dy_1 \right)^2 dy_2 dr+\int_0^u\int_{\mathbb{R}}\left(\int_{\mathbb{R}}\phi_x^\lambda(y_1)(p(v-r,y_1-y_2)-p(u-r,y_1-y_2))dy_1\right)^2dy_2dr\right)\leq C|v-u|^\varepsilon \lambda,$$
où $\phi_x^\lambda(y) = \lambda^{-1} \phi(\lambda^{-1}(y-x)).$
Comment prouver l'inégalité ci-dessus ?
Merci.
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Réponses
La fonction $p$ est paire selon le deuxième argument. Donc dans ton expression tu reconnais la norme $L^2$ au carré du produit de convolution entre $\phi_{x}^{\lambda}$ et $p(r,.)$. Tu utilises l'inégalité de Young pour la convolution (il faut vérifier que tu as le droit de l'utiliser) avec les bons exposants pour faire apparaitre la norme $L^1$ de $p(r,.)$.
En remarquant que $p(r,.)$ est la densité de la loi normale la norme $L^1$ est égale à 1 donc ça disparait. Ensuite tu fais un changement de variable pour faire apparaître un $\phi(z)$. Tu utilises que $\phi$ est à support dans la boule unité et la majoration par la norme $\infty$ tu devrais retrouver une majoration qui dépend de $\lambda$, la mesure de la boule unité et de $|u-v|$