- L’action d'un mouvement $u$ sur une droite $d$ est une droite et l'une des propositions suivantes est vraie :
Reformulation axiomes de groupe Perrin
Bonjour à tous
Dans un texte intitulé Des axiomes pour la géométrie du collège ? (https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~daniel.perrin/SurGeometrie/AxiomesDP.pdf ), Daniel Perrin énonce un axiome de groupe donnant sens à l'intuitive notion de superposabilité des figures :
Dans un texte intitulé Des axiomes pour la géométrie du collège ? (https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~daniel.perrin/SurGeometrie/AxiomesDP.pdf ), Daniel Perrin énonce un axiome de groupe donnant sens à l'intuitive notion de superposabilité des figures :
Axiome : Il existe un groupe $G$ de bijections du plan, dont les éléments sont appelés mouvements, tel que :
- L’image d’une droite $d$ par un mouvement $u$ est une droite $u(d)$ et la restriction de $u$ à $d$ est monotone.
- L’image par $u$ d’un demi-plan limité par $d$ est un demi-plan limité par $u(d)$.
- Étant donné deux drapeaux, il existe un unique mouvement qui envoie l'un sur l'autre.
Remarques :
- Sur toute droite du plan est postulé une relation d'ordre total sans plus petit ni plus grand élément.
- Un drapeau est un triplet $(A, \delta,\mathcal{F})$ où $A$ est un point, $\delta$ une demi-droite d'origine $A$ et $\mathcal{F}$ un demi-plan limité par la droite définie par $\delta$.
Dans le cadre d'un travail il me faut reformuler cet axiome en terme d'action de groupe :
Axiome reformulé : Il existe un groupe $G$, dont les éléments sont appelés mouvements, qui agit fidèlement sur le plan (on note cette action $\star$) de la manière suivante :
$\forall A,B \in d, A \leq B \implies u \star A \leq u \star B$
$\forall A,B \in d, A \leq B \implies u \star A \geq u \star B$
$\forall A,B \in d, A \leq B \implies u \star A \geq u \star B$
- L'action d'un mouvement $u$ sur un demi-plan limité par $d$ est un demi-plan limité par $u \star d$.
- L'action de $G$ sur l'ensemble des drapeaux induite par $\star$ est simplement transitive.
Trouvez-vous la reformulation (malgré ses lourdeurs) correcte ?
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Réponses
@stfj effectivement Daniel Perrin se dit "tout à fait hostile à une approche par le linéaire (à la Dieudonné)" de la géométrie dans l'enseignement secondaire et plaide pour une utilisation "précoce des cas d’égalité et de similitude des triangles", ainsi que pour une "utilisation plus intensive des invariants".
Mon problème est de savoir si l'axiome et l'axiome reformulé sont bien équivalents.
Si $G$ est un sous-groupe du groupe symétrique du plan $\Sym(\mathscr{P})$, alors $G$ agit sur le plan par $\begin{array}{ll}G \times \mathscr{P} &\longrightarrow \mathscr{P} \\ (u,A) &\longmapsto u(A) \end{array}$.
Le morphisme de $G$ dans $\Sym(\mathscr{P})$ associé à cette action est :
On a $u \star \mathcal{D}=(u \star A, u \star \delta , u \star \mathcal{F})$, où $u \star \mathcal{F}$ est un demi-plan limité par la droite $u \star \Delta$ (d'après le deuxième point de l'axiome).
Ensuite $\delta \subset \Delta$ donc $u\star \delta \subset u \star \Delta$, et du premier point de l'axiome on doit pouvoir déduire (D. Perrin ne détaille pas ce point) que $u \star \delta$ est une demi-droite d'origine $u \star A$, ce qui fait bien de $u \star \mathcal{D}$ un drapeau.
cela m’étonne 🤔
je pensais que c’était abordé dès la 5e dans les programmes officiels.
Dans le même ordre d'idées, il y a l'aire du parallélogramme après celle du triangle obtus.
Enfin bref, le programme est monté à l'envers. Ou il a été torché n'importe comment, mais sur cet aspect, ce n'était pas forcément mieux avant.
Avec le covid, les profs non remplacés, les classes foutoir etc., c'est déjà ingérable, alors avec un programme différent par prof et par classe, ben... c'est vrai que ça ne devrait pas être pire qu'ingérable, mais par principe on évite.
Il y a aussi Javert.