Symbole de Legendre
Bonsoir
Dernier chapitre du Liret. Je bloque sur ces 3 résultats. Je ne comprends pas comment on passe du système à 3 conditions aux congruences.
Le théorème page 121 est le suivant.
Soit $p$ un nombre premier impair.
Soit $p$ un nombre premier impair.
- $-1$ est un carré dans $\mathbb{F}_p ^{*}$ si et seulement si $p \equiv 1[4]$ si et seulement si $(-1)^{(p-1)/2} =1$.
- $2$ est un carré dans $\mathbb{F}_p ^{*}$ si et seulement si $p \equiv \pm 1 [8]$ si et seulement si $(-1)^{ (p-1)(p+1) /8}=1$.
Réponses
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En faisant un raisonnement par disjonction de cas. C'est un procédé de raisonnement assez fréquent dans ce genre de situation.
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Ok merci.
Montrons que $(\dfrac{a}{p}) \equiv a^{ (p-1)/2} [p]$.- Si $p$ divise $a$ on a $(\dfrac{a}{p}) =0$ et $a \equiv 0 [p]$ donc $a^{ (p-1)/2} \equiv 0 [p]$ d'où le résultat.
- Si $p$ ne divise pas $a$ et $a$ est un carré modulo $p$ alors $(\dfrac{a}{p}) =1$ et $a^{ (p-1)/2} \equiv 1 [p]$ d'où le résultat.
- Si $p$ ne divise pas $a$ et $a$ est n'est pas un carré modulo $p$ alors $(\dfrac{a}{p}) =-1$ et $a^{ (p-1)/2} \equiv -1 [p]$ d'où le résultat.
Pour $( \dfrac{2}{p})$ on remplace $a$ par $2$, une preuve du cours démontre que $\boxed{2^{(p-1)/2} \equiv (-1)^{(p-1)(p+1)/8} [p]}$ par contre je bloque sur un détail.
Si $p \equiv \pm 1 [8]$ alors ça vaut 1 et si $p \not \equiv \pm 1 [8]$ ça vaut $-1$ non ? Où sont passé les cas $0,2,4,6 [8]$ ?
Je ne comprends pas d'où sort le $\pm 3 [8]$ ... -
Il y a un truc que je n'ai pas compris dans le symbole de Legendre, on avait des congruences $(a/p) \equiv a^{(p-1)/2} [p]$ et comment ça devient une égalité $(-1/p)= (-1)^{(p-1)/2}$?
Ce point de détail me bloque dans la compréhension de la suite du cours sur les propriétés du symbole de Legendre.
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Pour confirmer, tu ne comprends pas pourquoi deux entiers, sous l'hypothèse qu'ils sont égaux à $-1$ ou $1$ et qu'ils sont congrus modulo un entier $\ge3$, sont égaux ?
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Très bonne question ! Cela me gêne aussi. Il faudrait rajouter à mon avis que le symbole de Legendre $(a/p) \in \{0,1,-1 \} \subset \mathbb Z$ (car ce n'est jamais précisé). Pour $a=-1$, $(-1)^{(p-1)/2} =1 $ ou $-1 \in \mathbb Z$ aussi, il y a plus que congruence, il y a égalité dans $\mathbb Z$. Il faudrait encore le démontrer ! Par exemple :Soit $p$ premier $\geq 3$, $x \in \{0,1,-1 \}, y \in \{1,-1 \}$, tels que $x \equiv y \pmod p$, montrer qu'alors $x=y$.Par contre pour $a \not \in \{0,1,-1 \}$, il ne peut évidemment pas y avoir égalité entre $(a/p)$ et $a^{(p-1)/2}$, mais seulement congruence modulo $p$.
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Je ne vois pas qui pourrait imaginer que $-1$, $\Bigl(\frac{-1}p\Bigr)$ ou $(-1)^{(p-1)/2}$ pourraient être divisibles par $p$...
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Pour ton autre question, ne pas oublier que $p$ est impair, on ne peut pas envisager les cas $p \equiv 0,2,4,6 \pmod 8$ !D'où sort le $\pm 3$ ? On s'interroge sur la parité de $(p-1)(p+1)/8$. Alors c'est pair ssi $p \equiv \pm 1 \pmod 8$, c'est impair ssi $p \equiv \pm 3 \pmod 8$.
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Je ferais deux tableaux et je constaterais que les lignes du bas coïncident. \[\begin{array}{|c|c|c|}\hline p\mod 4&1&-1=3\\\hline\Bigl(\frac{-1}{p}\Bigr)&1&-1\\\hline(-1)^{(p-1)/2}&1&-1\\\hline\end{array}\qquad\qquad\begin{array}{ |c|c|c|}\hline p\mod 8&\pm1=\mp7&\pm3=\mp5\\\hline\Bigl(\frac{2}{p}\Bigr)&1&-1\\\hline(-1)^{(p^2-1)/8}&1&-1\\\hline\end{array}\]
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@Julia Paule
Ok merci. On a $(p-1)(p+1) /8$ impair si et seulement si $(p-1)(p+1) -1$ est multiple de $16$.
Soit $p^2-2$ multiple de $16$. Donc $p^2 \equiv 2 [16]$.
Je ne vois pas comment montrer que $p \equiv \pm 3 [8]$...
Soit $p$ premier $\geq 3$ et $x \in \{0,1,-1 \}$ et $y \in \{-1,1\}$ tel que $x \equiv y [p]$.
Il existe $k \in \Z$ tel que $x-y= k p$.- Si $x=0$ alors $-y=k p$ donc $y=0$.
- Si $x=1$ alors $1-y= kp$. Donc $k=0$ et $y=1$.
- Si $x=-1$ alors $-1-y= kp$ soit $y+1=(-k) p$. Comme $p \geq 3$ alors $-k=0$ donc $y+1=0$ soit $y=-1$.
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Je ne trouve pas que les « donc » dans la dernière liste à puces sont justifiés.On pourrait écrire : si $x,y\in\{-1,0,1\}$, alors $|x-y|\le2<p$. Si de plus $x\equiv y\mod p$, i.e. $x-y$ est un multiple de $p$, alors $x=y$.
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@Julia Paule
Ok merci. On a $(p-1)(p+1) /8$ impair si et seulement si $(p-1)(p+1) -1$ est multiple de $16$.
Soit $p^2-2$ multiple de $16$. Donc $p^2 \equiv 2 [16]$.
Je ne vois pas comment montrer que $p \equiv \pm 3 [8]$...
Soit $p$ premier $\geq 3$ et $x \in \{0,1,-1 \}$ et $y \in \{-1,1\}$ tel que $x \equiv y [p]$.
Il existe $k \in \Z$ tel que $x-y= k p$.- Si $x=0$ alors $-y=k p$ donc $y=0$.
- Si $x=1$ alors $1-y= kp$. Donc $k=0$ et $y=1$.
- Si $x=-1$ alors $-1-y= kp$ soit $y+1=(-k) p$. Comme $p \geq 3$ alors $-k=0$ donc $y+1=0$ soit $y=-1$.
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@Math Coss
Merci jolie preuve, en effet je n'étais pas convaincu moi-même par mon raisonnement.
Le tableau est très clair.
Par contre j'ai toujours du mal à comprendre pourquoi si $(p-1)(p+1) /8$ est impair alors $p \equiv \pm 3 [8]$. J'ai essayé plusieurs choses mais je n'y arrive pas.
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Fais une disjonction de cas.
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Sais-tu lire un tableau ? Oublions le tableau...Sais-tu faire une disjonction de cas, suivant les indications de @Julia Paule ?Comme $p$ est premier impair, il ne saurait être congru à $0$, $2$, $4$ ou $6$ modulo $8$. Restent quatre cas, $1$, $3$, $5=-3$ et $7=-1$. Comme on s'intéresse à $p^2$, on les regroupe par deux : $p$ est congru soit à $\pm1$, soit à $\pm3$ modulo $8$. On fait deux calculs :Compte tenu du début, si $(p^2-1)/8$ est impair, c'est qu'on n'est pas dans le premier cas donc on est dans le deuxième cas. Un truc de fou.
- si $p$ est congru à $\pm1$, alors $(p^2-1)/8$ est pair ; en effet, si $p=\pm1+8k$ alors $p^2=1\pm16k+64k^2$ donc $(p^2-1)/8=2(\pm k+4k^2)$ ;
- si $p$ est congru à $\pm3$, alors $(p^2-1)/8$ est impair ; en
effet, si $p=\pm3+8k$ alors $p^2=1+8\pm48k+64k^2$ donc
$(p^2-1)/8=1+2(\pm3k+4k^2)$.
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Le programme de seconde et les bases du raisonnement de cette classe ne sont pas maîtrisés et ça se permet de juger que les livres de L1/L2/CPGE sont mal rédigés, pas pédagogiques et que "c'est le désert dans ce domaine" et il faudrait considérer ça comme une opinion comme une autre....
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Pour tout premier $p$ impair, il existe $\lambda\in\{\pm1,\pm 3\}$ et $k\in\mathbb N$ tels que $p=\lambda+8k$.
On a $p^2-1=\lambda^2-1\bmod 16$.
Donc $8\mid p^2-1$ et $(p^2-1)/8$ est pair $\Leftrightarrow\lambda=\pm 1$.
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@Math Coss
Parfait merci ! C'est très clair.
Mon souci est que je voulais partir de $(p-1)(p+1) /8$ impair, alors qu'il fallait partir de $p \equiv \pm 1 [8]$. Je suis parti du mauvais sens...
@JLapin
On est à des années lumières du niveau de seconde.
@gai requin
Pas compris ta méthode.
Dès la première ligne je suis perdu. Je ne vois pas d'où sort le $\exists \lambda \in \{ \pm 1, \pm 3 \}$ et $k \in \N$ tel que $p=\lambda+8k$.
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Beyond redemption!
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J'ai un autre exemple dans le livre pour voir si j'arrive à la faire.
On dit que d'après la multiplicativité du symbole de Legendre, $(\dfrac{-2}{p})=(-1)^{ (p-1)(p+5) /8}$ donc $-2$ est un carré modulo $p$ si et seulement si $p$ est congru à $1$ ou $3$ modulo $8$.
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En effet, je vais relire le message de @gai requin il me semble que la première ligne est triviale.Math Coss a dit :Beyond redemption! -
Je détaille le raisonnement de @gai requin.
On a $p=\lambda + 8k$.
Donc $p^2 = \lambda^2 + 16 k \lambda + 64 k^2 \equiv \lambda^2 [16]$.
Donc $\boxed{p^2-1 \equiv \lambda^2-1 [16]}$.- Si $\lambda= \pm 1$ alors $\lambda^2-1=0$ donc $p^2-1 \equiv 0 [16]$ donc il existe $k \in \Z$ tel que $p^2-1 =16 k$ soit $\dfrac{p^2-1}{8}=2k$ donc $(p-1)(p+1)/8$ est pair.
- Réciproquement, si $(p^2-1) /8 $ est pair, alors il existe $k' \in \Z$ tel que $(p^2-1) /8 = 2k'$ soit $p^2-1=16k' \equiv 0 [16]$. Donc $\lambda^2-1 \equiv 0 [16]$. Ainsi $16 \mid ( \lambda^2-1)$. Si $\lambda = \pm 3$ alors $\lambda^2=9$ et $16$ ne divise pas $9$. Il reste comme unique possibilité $\lambda = \pm 1$.
-
Soit $p$ un nombre premier impair.
Montrons que $\dfrac{(p-1)(p+5)}{8} $ est pair si $p \equiv 1 [8]$ ou $p \equiv 3 [8]$.- Si $p \equiv -1 [8]$ alors il existe $k \in \Z$ tel que $p=-1+8k$ soit $p-1=-2+8k$ et $p+5=4+8k$ donc $(p-1)(p+5)=(-2+8k)(4+8k)=-8-16k+32k+64k^2 $ donc $(p-1)(p+5) / 8 $ est clairement impair.
- Si $p \equiv -3 [8]$ alors il existe $k \in \Z$ tel que $p=-3+8k$ soit $p-1=-4+8k$ et $p+5=2+8k$ donc $(p-1)(p+5)=(-4+8k)(2+8k)= -8-32k+16k+64k $ donc $(p-1)(p+5) / 8 $ est clairement impair.
Par contre ici je doute qu'on puisse utiliser la technique astucieuse de @gai requin
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Ma technique n’est pas astucieuse et marche aussi dans ce cas-là en deux lignes.
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Ah d'accord.
Pour tout premier $p$ impair, il existe $\lambda\in\{\pm1,\pm 3\}$ et $k\in\mathbb N$ tels que $p=\lambda+8k$.
On a $(p-1)(p+5)=p^2+ 4p -5 = \lambda^2 +16 \lambda k + 64k^2+ 4p-5 \equiv \boxed{ \lambda^2 + 4 \lambda -5 [16]}$.
$(p-1)(p+5) / 8$ est pair si et seulement si $\boxed{\lambda^2 +4 \lambda \equiv 0 [16]}$.- Si $\lambda=-1$ alors $\lambda^2 +4 \lambda = 1-4=-3 \not \equiv 0 [16]$
- Si $\lambda=-3$ alors $\lambda^2 +4 \lambda = 9-12=-3 \not \equiv 0 [16]$
- Si $\lambda=1$ alors $\lambda^2 +4 \lambda = 1+4=-5 \not \equiv 0 [16]$
-
Ton équivalence est fausse.
Si $\lambda\in\{1,3\}$, $(p-1)(p+5)=0\bmod 16$.
Sinon, $(p-1)(p+5)=8\bmod 16$.
-
Ah merci j'ai oublié le $-5$.
La condition nécessaire et suffisante est $\lambda^2+4 \lambda -5 \equiv 0 [16]$.
Si $\lambda=1$ on a $\lambda^2+4 \lambda -5 = 0 \equiv 0 [16]$
Si $\lambda=3$ on a $\lambda^2+4 \lambda -5 = 16 \equiv 0 [16]$
Si $\lambda=-1$ on a $\lambda^2+4 \lambda -5 = -8 \not \equiv 0 [16]$
Si $\lambda=-3$ on a $\lambda^2+4 \lambda -5 = -8 \not \equiv 0 [16]$
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