Extrema locaux
Bonjour,
je cherche les extrema locaux de la fonction $f$ définie sur $\mathbb R^2$ par
je cherche les extrema locaux de la fonction $f$ définie sur $\mathbb R^2$ par
$$f(x,y)=|P(x+iy)|,$$
où $P$ est un polynôme à coefficients complexes non constant.
Je
vois bien qu'il y aura un minimum global qui vaudra $0$ sur une racine
de $P$ et comme la fonction $z\mapsto P(z)$ est holomorphe, elle ne peut
pas être bornée, ce qui implique que ma fonction $f$ n'a pas de maximum
global sur $R^2$. Mais je dois dire que pour les extrema locaux, je suis
coincé : la méthode habituelle (point critique puis hessienne) me
paraît bien compliquée à mettre en œuvre du fait du module. Évidemment,
je pourrais regarder les extrema de $f^2$, mais les dérivées partielles
de $f$ ne me semblent pas beaucoup plus maniables (au moins, elles ont
l'air d'exister en écrivant le module comme le produit d'un complexe par
son conjugué).
J'ai essayé des cas
particuliers : autant la question est facile sur le polynôme $X^2$,
autant la méthode "calcul explicite de $f$ puis application de la méthode
habituelle" me paraît impraticable si le degré du polynôme augmente. Le
tracé des surfaces me donne juste ce que je pensais sur l'aspect global :
un ou des min globaux et pas de max global.
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Réponses
De même, montrer l'analycité de $1/f$ est un exo classique au niveau d'une Spé (on cherche un DSE tel que le produit de Cauchy d'icelui par celui de $f$ soit égal à $1$ ; la petite difficulté technique est de montrer que ce second DSE a un Rcv $>0$).
NB : si $f$ est polynomiale, l'analycité de $1/f$ est encore plus simple si l'on admet le thm de d'Alembert-Gauss car il suffit de décomposer $1/f$ en éléments simples.