Catégories et structures de Charles Ehresmann

Thierry Poma
Thierry Poma
Modifié (January 2023) dans Catégories et structures
Le livre Catégories et structures de Charles Ehresmann est accompagné d'une feuille d'erratums ; pourtant, il subsiste encore quelques coquilles qu'il convient de signaler.
Page 9, ligne -15 : Lire ceci : Soit $B$ une classe. Soit $(B\times{}B)^{\perp}$ la classe multiplicative obtenue en munissant la classe produit $B\times{}B$ de la loi de composition :
\[\left(b'',\,\overline{b'}\right)\perp\left(b',\,b\right)=\left(b'',\,b\right)\text{si, et seulement si, }\overline{b'}=b'\]Alors $(B\times{}B)^{\perp}$ est un groupoïde (...)
  • Je n'ai pas changé les notations, même si je les trouve particulièrement lourdes. En revanche, il convenait d'écrire convenablement la loi interne $\perp$ partiellement définie sur la classe $B\times{}B$.
Page 17, ligne -1 : Lire ceci : Donc $\varphi(C)$ est stable dans $\widehat{C}^{\,\bullet}$. (De plus $\varphi(C)^{\,\bullet}$ est une catégorie, en vertu du corollaire 1 et de la définition 12, page 7).
  • La référence donnée par l'auteur ne mène à rien de probant pour établir que $\varphi(C)^{\,\bullet}$ est bien une catégorie. En effet, par hypothèse, $\left(\widehat{C}^{\,\bullet},\,\varphi,\,C^{\,\bullet}\right)$ est un néofoncteur (de graphes multiplicatifs) ce qui établit, en vertu du corollaire 1 de la page 17, que $\varphi(C)$ définit un sous-graphe multiplicatif de $\widehat{C}^{\,\bullet}$ et que  $\left(\varphi(C)^{\,\bullet},\,\varphi,\,C^{\,\bullet}\right)$ est un néofoncteur. Finalement, comme la démonstration de la proposition consiste à montrer la $\bullet$-stabilité de $\varphi(C)$ dans $\widehat{C}^{\,\bullet}$, le résultat voulu découle de la définition 12, page 7 concernant le concept de sous-catégories.
Page 19, ligne -2 : Lire ceci : Par suite $\Phi$ est un isomorphisme et, d'après le corollaire de la proposition 19, $\widehat{C}^{\,\bullet}$ est une catégorie.
  • En effet, il ne s'agit pas d'établir que $C^{\,\bullet}$ est une catégorie, vu que, par hypothèse, nous savons déjà qu'il en est ainsi.
La suite au prochain numéro.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Tiens, as-tu vu le livre de Théorie des ensembles (Centre de documentation universitaire, 1970) d'Andrée Bastiani, plus connue sous le nom d'Andrée Ehresmann, sur son site personnel ?
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Modifié (January 2023)
    @Math Coss : bonjour. Comme le prouve la photo ci-jointe, un peu floue, je possède les deux livres :
    Voici ce qu'écrit Charles Ehresmann dans son introduction ::
    L'auteur débute la construction de la classe "universelle" $\mathscr{M}$ à partir de la page 21 de son ouvrage.
    Je sais que Andrée Bastinani parle de préunivers, d'univers, mais je n'ai pas encore étudié l'ouvrage en profondeur. Je possède les deux ouvrages depuis 1986 ; je les ai acheté à Toulon.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Page 27, ligne 12 : Lire ceci : Si $\left(C_i^{\bullet}\right)_{i\in{}I}$ est une famille de graphes multiplicatifs (resp. de catégories), un néofoncteur de $\prod\limits_{i\in{}I}C_i^{\bullet}$ vers $C^{\bullet}$ est appelé un néofoncteur à plusieurs variables. En particulier, si $\Phi$ est un néofoncteur de $C_1^{\bullet}\times{}C_2^{*}$ vers $\widehat{C}^{\,\bullet}$, où $C_2^{*}$ est le graphe multiplicatif dual de $C_2^{\bullet}$ (prop. 3, page 6), on dira aussi que $\Phi$ est un néofoncteur covariant relativement à $C_1^{\bullet}$ et contravariant relativement à $C_2^{\bullet}$. Nous allons associer canoniquement un tel foncteur à toute catégorie.
    Soit $C^{\bullet}$ une catégorie. (...)
    • En effet, vu que l'auteur se réfère à des graphes multiplicatifs qui ne sont pas nécessairement des catégories, il n'y a donc aucune raison apparente dans le contexte pour que le néofoncteur $\Phi$ devienne un foncteur. La phrase "Nous allons associer canoniquement un tel foncteur à toute catégorie" a seulement pour but de nous avertir que l'auteur s'apprête à définir naturellement le foncteur $\mathrm{Hom}$ de la catégorie produit $C^{\bullet}\times{}C^{*}$ vers la catégorie $\mathscr{M}$.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Modifié (March 2023)
    Ce n'était pas Catégories et structures que nous devions acheter, c'était Maitrise de mathématiques : C3 (Algèbre et géométrie) - Algèbre (1ere partie) pour le cours d'Algèbre  de C. Ehresmann, en 1972, à Paris VII. Il y parlait bien peu de groupes.

  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Modifié (March 2023)
    @Cidrolin : bonjour. Au vu de ta reproduction, dois-je en déduire que tu possèdes ledit cours dont tu parles ? Voudrais-tu partager ici quelques reproductions sur la manière dont l'auteur administre les catégories dans ce cours, s'il te plait ? Je t'en remercie par avance.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Modifié (March 2023)
    Bonjour Thierry, voici les pages de l'index. Je peux te prêter ce livre. Je demeure à Paris (75013) pour un passage en mains propres. Sinon il y a la Poste. Me contacter en mp
    .
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Cidrolin : bonsoir. Je te remercie beaucoup pour ton investissement, ainsi que pour ta proposition. Je vais y réfléchir, sachant que ce sera la Poste. Attendons, s'il te plait.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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