Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme

Shadows Asgard · January 2023

Bonjour, j'ai un problème pour la question 2 de l'exercice 1, car je souhaite montrer que $\varphi$ est bijective, et pour cela je veux montrer que $\varphi$ est injective et surjective. Et pour montrer que $\varphi$ est injective, je dois montrer que $\ker\,\varphi=\{0\}$. Mais je suis bloqué, comme montré en pièce jointe, car je ne sais pas quoi faire ensuite.
Merci d'avance pour votre réponse.

gerard0 · January 2023

Bonjour.
Combien de racines pour le polynôme P ?
Cordialement.

Shadows Asgard · January 2023

Bonjour, je ne sais pas, comment puis-je savoir étant donné que je prends un polynôme P quelconque ?

gerard0 · January 2023

Tu ne regardes jamais ce que tu as écrit ?

Shadows Asgard · January 2023

Je ne comprends pas, sur quoi voulez vous attirer mon attention ?

GaBuZoMeu · January 2023

Bonjour,

Gérard0 cherche à attirer ton attention sur le fait que tu écris sur un polynôme $P\in \mathbb R_n[X]$ tel que $P(a_0)=\ldots=P(a_n)=0$. Ce polynôme $P$ n'est certainement pas quelconque !

NicoLeProf · January 2023

@Shadows Asgard déjà tu as l'égalité des dimensions entre $\mathbb{R}_n[X]$ et $\mathbb{R}^{n+1}$ donc il suffit de montrer que $\varphi$ est injective. Tu as eu le bon réflexe en prenant $P$ dans le noyau puis tu as écrit sous la forme d'un système que $P$ a combien de racines? Par exemple, tu as écrit : $P(a_0)=0$ alors $a_0$ est racine de $P$, en voilà une première et ensuite... ?

C'est ce que gerard0 a voulu te montrer !

Cela te permet de conclure facilement ensuite, n'oublie pas que $P$ est dans $\mathbb{R}_n[X]$ donc que peux-tu dire de son nombre de racines?

Antoine_F · January 2023

Pour la surjectivité, si on n'a pas envie de montrer l'injectivité, on peut passer par les polynômes interpolateur de Lagrange sinon

Amédé · January 2023

Shadows Asgard a dit :

Je ne comprends pas, sur quoi voulez vous attirer mon attention ?

Ben que le polynôme est de degré au plus $n$ et qu'il a $n+1$ racines si il est dans le noyau.

OShine · January 2023

J'aurais mis des équivalences dans la question 2) dans ce que tu as rédigé.

Heuristique · January 2023

Bonjour,

Justement, non, on évite en général les implications et équivalences lorsque l'on rédige une preuve (sauf cas très rare et résolution d'équation).

Une rédaction serait plutôt :

"Soit $P \in Ker(\varphi)$. Alors $\varphi(P) = 0$.

Donc $(P(a_0),...,P(a_n)) = (0...0)$.

Donc $\forall i \in [[0,n]], P(a_i) = 0$.

Comme les $a_i$ sont 2 à 2 distincts, $P$ admet au moins $n+1$ racines.

Comme $P$ est de degré au plus $n$, on en déduit que $P = 0$.

Donc $Ker(\varphi) = \{0\}$ et $\varphi$ est injective."

Il est important en mathématiques de comprendre la différence entre "$P \Rightarrow Q$" et "$P$. Donc $Q$."

Dans la première phrase, on dit "Si on a $P$ alors on a $Q$" mais on ne sait pas du tout si $P$ est vraie, si $Q$ est vraie, bref on ne sait pas grand-chose.

Dans la seconde, on dit "$P$ est vraie. Donc $Q$ est vraie." : on sait donc que $P$ est vraie et $Q$ aussi.

Evite donc les symboles $\Rightarrow$ et $\Leftrightarrow$ dans tes preuves (et de manière générale tant que tu ne les maîtrises pas).