Calendrier de l’Avent

john_john · January 2023

Bonjour à tous,

Cidrolin ; tu es un dangereux récidiviste, à ce que je vois !! Mais tu seras absous car tes exos sont passionnants

bd2017 : même en dimension $2$, l'inégalité est fausse. Alors, pourquoi seulement en dimension $3$ ? Raison de convexité, de forme quadratique ?

rémi · January 2023

Bonsoir à tous

Je joins une version relativement complète. La fin n'est pas terminée. J'ai peut-être oublié quelques solutions (n'hésitez pas).

Il y a plein de remarques intéressantes au sujet des derniers problèmes que je n'ai pas encore intégrées.
Et comme je change de poste au boulot à partir du 01/02/2023, j'ai parfois du mal à dégager du temps.
C'est pas trop mal pour un début.
Je prends toutes les remarques.
J'ai choisi de ne pas intégrer tout ce qui concerne le site approchtrucbidule, ça m'amènerait trop loin.
Je m'amène déjà trop loin tout seul.
S'il y en a qui on le courage de faire des recherches concernant l'exercice d'harazi dans la RMS et dans Crux Mathematicorum, ne vous retenez pas.
J'ai téléchargé les Crux de 2005, je jetterai un œil si je trouve le temps.
Rémi.

Calli · January 2023

Respect @rémi. 👏
Je signale que la solution recopiée au jour 17 est en fait celle du jour 18.

raoul.S · January 2023

Super boulot @rémi

JLapin · January 2023

Bravo !

etanche · January 2023

Merci rémi pour ce poly.

Magnéthorax · January 2023

Bonjour,
Merci rémi. En page 6 de ce fil, tu trouveras dans un de mes messages une répone plus détaillée et plus élémentaire à J 16.

https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2398600/#Comment_2398600

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Bibix · January 2023

Bonjour,
En page 4, un de mes messages donne une solution plus élémentaire au J3 (sans utiliser Fourier ou de l'analyse complexe).

https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2397695/#Comment_2397695

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gebrane · January 2023

Salut à tous et à toutes Ma question du J21 que j'ai raté

Je vais préciser dans ce fil la question que je voulais poser pour le jour 21 (j'ai eu un déplacement imprévu). La question, en fait, concerne un théorème qui joue le rôle d'une définition de l'intégrale d'une fonction continue sur un segment [a, b]. Je trouve cette définition élégante, rigoureuse et surtout simple (elle évite les notions de bornes inférieures et supérieures qui rebutent pas mal d'étudiants). Cette définition a été donnée dans un cours que j'ai consulté d'un professeur qui cherchait un consensus réussi entre rigueur et simplicité pour un public qui ne va pas se spécialiser en mathématiques. Il propose cette définition (en fait, un théorème) sans démonstration.

Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ qu'on partage en $n$ segments $[x_i,x_{i+1}]$ à pas égaux $h=\frac {b-a}n$ on note $m_i =\min_{x\in [x_i,x_{i+1}]} f(x)$ et $M_i=\max_{x\in [x_i,x_{i+1}]} f(x)$ et on note $s_n^+$ la somme des aires des rectangles au dessus de la courbe : $s_n^+=h\sum_{i=0}^{n-1} M_i$ et $s_n^-$ la somme des aires des rectangles sous la courbe : $s_n^-=h\sum_{i=0}^{n-1} m_i$.

Théorème-définition : les deux suites $s_n^+$ et $s_n^-$ convergent vers une même limite, que l'on note par définition $\int_a^b f(x) dx $.

Question. Démontrer le théorème. Vous pouvez sauter l’étape de prouver que $\lim_{n \to +\infty} s_n^+- s_n^- = 0$ en utilisant l'uniforme continuité de $f$
Il faut surtout démontrer que les deux suites sont convergentes, ce qui rend la définition rigoureuse. C'est une définition qu'on doit donner sans démonstration (car le prix à payer est un peu cher, elle s'adresse donc à un public qui ne va pas faire carrière en mathématiques) et (surtout ne pas croire que les deux suites sont adjacentes même si on suppose que $f$ est positive) je la trouve meilleure que la définition qu'on donne : que l'intégrale d'une fonction continue positive est par définition l'aire sous la courbe ou la définition qui dit que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ avec $F$ une primitive de $f$.

Je me pose des questions sur cette définition, si on peut démontrer les propriétés de base de l'intégrale sans trop se fatiguer. Si on propose une définition sans démonstration des propriétés attendues , il faut au moins que le professeur sache que cette définition tient ses promesses

NicoLeProf · January 2023

Une question : les sommes (permettant de définir les suites $(s_n^+)$ et $(s_n^-$)) ne devraient-elles pas aller de $0$ à $n-1$ plutôt? Vu que l'on a partagé $[a,b]$ en $n$ segments?

gebrane · January 2023

C’était une coquille. Merci. je vais préciser la question dans mon message precedent

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