Potents et idempotents
Bonjour, j'ai besoin d'aide, je suis bloqué, j'arrive pas à comprendre SVP! Merci d'avance!
j'ai trouvé dans un cours en anglais:
1) Idempotents lift modulo nil ideals but potents elements are not in general.
2) In rings with finite characteristic, potents elements lift modulo nil ideals.
( Soit $R$ un anneau commutatif, $a \in R$ est dit potent si $a^n=a$ pour un ceratin entier $n >1$)
je n'arrive pas à voir l'utilité de caractéristique non nulle. j'aimerais trouver un exemple d'un anneau $R$ de caractéristique nulle, un idéal $I \subset Nil(R)$, un idempotent $\bar{e}$ dans $R/I$ tel que $\bar{e}$ can't be lifted to un idempotent in $R$. ( excusez-moi, je n'ai pas traduit ça en francais pour ne pas écrire des bêtises) Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Si il existe $P \in R$ tel que $P \equiv X$ dans $R/Nil(R)$ et $P^k=P$ dans $R$ pour un certain $k>1$. Alors $P=X+L(X^3-X)$ avec $L \in \mathbb{Z}[X]$.
$P^k=X^k+kX^{k-1}L(X^3-X)$ dans $R$. Donc si $P^k=P$ dans $R$, on a $X^k-X$ divisible dans $\mathbb{Z}[X]$ par $X^3-X$, donc $k=2n+1$ pour un certain $n>0$ entier.
Donc $P^k-P=X^{2n+1}+(2n+1)X^{2n}L(X^3-X)-X-L(X^3-X)=0$ dans $R$.
$X^{2n+1}-X$ divisé par $X^3-X$ est égal à $S:=1+X^2+ \cdots+X^{2(n-1)}$
Donc $S=L-(2n+1)X^{2n}L$ dans $\mathbb{Z}[X]/(X^3-X)$.
Donc $n=S(1)=-2nL(1)$ en évaluant en $X=1$, ce qui est impossible car $L(1) \in \mathbb{Z}$.