Les probas en 2023 en classe de troisième et la théorie naïve des ensembles

Dans un college lambda, j'ai choisi deux prénoms : $S:=\text{sarah}:=\{s,a,r,h\}$ et $H:=\text{henri}$. Le plus long étant d'expliquer qu'on ne répète pas $a$ dans l'écriture de $\text{sarah}$, expliquer que $\text{sarah}\cap\text{henri}=\{h,r\}$ et que $U:=\text{sarah}\cup\text{henri}\cup\{y,z\}=\{s,a,h,r,e,n,i,y,z\}$ avec des patates au tableau n'a pas posé de problème pire que d'expliquer qu'une droite va à l'infini et au-delà. Je ne vois vraiment pas le problème en troisième d'écrire $p(S)=\frac49, p(H)=\frac59, p(H\cup S)=\frac79, p(H\cap S)=\frac29$, et de faire remarquer que $p(H\cup S)=p(H)+p(S)-p(H\cap S)...$ En outre, cela aurait pour vertu d'étendre des notations telles que $d\cap d'$, pour l'intersection de deux droites, à $\mathcal{C}\cap d$ pour l'intersection d'un cercle et d'une droite... Désolé si j'enfonce des portes ouvertes mais visiblement elles ne sont pas ouvertes pour tout le monde.

@Dom :$\cup$ pour "Union" et $\cap $ pour l'autre : c'est facile à intégrer (je ne sais pas qui a inventé ça mais c'est très efficace) et comme l'être humain est partisan du moindre effort (voir recherches récentes sur le sujet par un chercheur à ULM), il adopte vite $p(A\cup B )$ au lieu de $p(A\text{ou}B)$, non ? Surtout si on l'a habitué à écrire card$(A\cup B )$ ou aire$(A\cup B ) $. Comme $\bot \parallel$ si commodes pour écrire "$(A\parallel B. C\bot A)\text{ entraîne } C\bot B$" (qu'il faut évidemment avoir écrit en français d'abord pour des 6è : ) )

Je ne le sais que trop bien mais ce n'est pas parce que certains élèves sont particulièrement faibles et ont du mal à assimiler la moindre connaissance qu'on leur présente qu'il faut interdire aux autres l'accès à des connaissances simplificatrices, unificatrices, que leurs prédécesseurs n'ont pas eu plus de mal qu'ils n'en auront à intégrer... N'est-ce pas ? Et supposer comme dans le belin de 2008 que quelques notations ad hoc vont permettre aux élèves une initiation fructueuse aux probabilités, c'est construire sur du sable sans faire le moindre lien avec tout ce que les élèves ont vus en maths et ça ne sert à rien, ni aux faibles ni même aux bons élèves. 

En tout cas, en classe de seconde comme en témoigne l'extrait suivant,  c'est open bar si j'ose dire

"Vocabulaire ensembliste et logique L'apprentissage des notations mathématiques et de la logique est transversal à tous les chapitres du programme. Aussi, il importe d'y travailler d’abord dans des contextes où ils se présentent naturellement, puis de prévoir des temps où les concepts et types de raisonnement sont étudiés, après avoir été́ rencontrés plusieurs fois en situation. Les élèves doivent connaître les notions d’élément d’un ensemble, de sous-ensemble, d’appartenance et d’inclusion, de réunion, d’intersection et de complémentaire, et savoir utiliser les symboles de base correspondant : ∈, ⊂, ⋂, ⋃, ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles. Ils rencontrent également la notion de couple. Pour le complémentaire d’un sous-ensemble A de E, on utilise la notation des probabilités Ā, ou la notation E \ A. Les élèves apprennent en situation à :  reconnaître ce qu'est une proposition mathématique, à utiliser des variables pour écrire des propositions mathématiques ;  lire et écrire des propositions contenant les connecteurs « et », « ou » ;  formuler la négation de propositions simples (sans implication ni quantificateurs) ;  mobiliser un contre-exemple pour montrer qu'une proposition est fausse ;  formuler une implication, une équivalence logique, et à les mobiliser dans un raisonnement simple ;  formuler la réciproque d’une implication ;  lire et écrire des propositions contenant une quantification universelle ou existentielle."

M'enfin, on sait tous ce que ça veut dire. Les enseignants de seconde n'arriveront jamais à transmettre ce "vocabulaire ensembliste et logique" en une année éventuellement écourtée par des confinements comme ce fut le cas récemment. Donc les inspecteurs vont reprendre leurs bâtons de pèlerin et tirer les oreilles des professeurs de collège : "Comment, vous ne faites pas un peu de théorie naïve des ensembles? Vous pensiez que ce n'était pas dans l'intérêt de vos élèves. Mais que nenni ! Vous comprîtes fort mal les consignes de la papauté..." Le salut sera venu des probabilistes. Ce n'est peut-être pas un hasard si Hugo Duminil-Copin s'est intéressé à ce sujet.

Oui, @NicoLeProf, la théorie des ensembles ne figure pas dans les programmes du collège. Donc ce fut une erreur d'introduire dans les programmes de collège les probabilités. Une erreur dont les rédacteurs du programme de seconde semblent se mordre les doigts puisqu'ils prévoient : 

 "Vocabulaire ensembliste et logique L'apprentissage des notations mathématiques et de la logique est transversal à tous les chapitres du programme. Aussi, il importe d'y travailler d’abord dans des contextes où ils se présentent naturellement, puis de prévoir des temps où les concepts et types de raisonnement sont étudiés, après avoir été́ rencontrés plusieurs fois en situation. Les élèves doivent connaître les notions d’élément d’un ensemble, de sous-ensemble, d’appartenance et d’inclusion, de réunion, d’intersection et de complémentaire, et savoir utiliser les symboles de base correspondant : ∈, ⊂, ⋂, ⋃, ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles. Ils rencontrent également la notion de couple. Pour le complémentaire d’un sous-ensemble A de E, on utilise la notation des probabilités Ā, ou la notation E \ A. Les élèves apprennent en situation à :  reconnaître ce qu'est une proposition mathématique, à utiliser des variables pour écrire des propositions mathématiques ;  lire et écrire des propositions contenant les connecteurs « et », « ou » ;  formuler la négation de propositions simples (sans implication ni quantificateurs) ;  mobiliser un contre-exemple pour montrer qu'une proposition est fausse ;  formuler une implication, une équivalence logique, et à les mobiliser dans un raisonnement simple ;  formuler la réciproque d’une implication ;  lire et écrire des propositions contenant une quantification universelle ou existentielle."

J'ai 52 ans et 28 ans de métier : c'est toujours le même cirque : quand ils comprennent leurs erreurs, ils font machine arrière toute. Là où il ne fallait pas de théorie naïve des ensembles, il faut tout d'un coup en revenir à autant de connaissances que dans les manuels des années 70 !! Vérifie, tu verras que je dis vrai. 

Pour sauver la face, on va continuer encore d' "enseigner" les probabilités au collège pendant quelques années; tant pis pour les élèves qui subiront cet enseignement qu'on sait inutile. Puis on le remplacera par un "apprentissage transversal du vocabulaire ensembliste et logique" qu'on peut finalement faire au collège. Eh oui, ce que j'ai appris quand j'étais élève dans les années 70 en CE2(j'ai encore les bouquins, on va se marrer :  )
- des relations entre ensembles finis (je te donne l'exemple pour que tu comprennes $E=\{Journal Tintin,Journal Mickey\}$ et $F=\{René,Caroline, Jean, Pierre,Yves,Sylvie(mon premier amour...), Marie\}$
- des intersections, réunions, différences symétriques, application addition en base trois, en base cinq, en base dix,...
- relations d'équivalence ( les couleurs bleu pastel, rouge, mauve , vert, jaune);
- des boucles (loop en anglais) : eh oui, les catégories étaient passées par là..
-lignes brisées, lignes courbes , lignes droites
- coin droit (on ne  parlait pas encore d'angle)
- intérieurs, frontières (la topologie était passée par là...)
- "Un triangle qui a un coin droit est un triangle rectangle"(Math 013, cours élémentaire 2, Classiques Hachette, 1976,p. 106 )
-quadrillages orthonormés, non-orthogonaux;
- notion de couple

J'avais 8 ans et j'adorais ça ; ma mère aussi, qui était une très bonne calculatrice (caissière sans caisse automatique à l'époque, tous les calculs faits de tête; je soupçonne avec le recul qu'elle faisait les exercices avec moi non pas seulement pour m'aider mais parce qu'elle aimait ces si belles mathématiques colorées; everybody digs maths )

J'ai lu les règles du groupe : il ne faut pas insulter les institutions. Donc je me contenterai de rappeler ce que Jean Dieudonné disait des universitaires recyclés dans les rectorats : "des universitaires dont il valait mieux qu'on leur confiât des tâches administratives plutôt que des taches liées à la recherche en mathématiques." Désolé ! Cela m'a échappé, mais quels programmes pompeux de seconde, quelles tournures pédantes pour présenter ce que ma génération faisait en CE1-CE2 et qu'on veut présenter avec précaution à des lycéens! On confond visiblement son pâle niveau avec celui de nos jeunes.

Tes élèves de 4è ont raison et sont peut-être plus brillants que tu n'imagines. D'un côté, on leur demande (1)de synthétiser la phrase du cours : "dans tout triangle $ABC $ rectangle en $A$, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés" en $BC^2=BA^2+CA^2$; en seconde, il faudra même passer une étape supplémentaire en écrivant $a^2=c^2+b^2$ ou mieux $a=\sqrt{c^2+b^2}$. Ce sont des travaux intellectuels profonds et ce n'est pas parce que pour un prof, c'est évident qu'il faut sous-estimer l'importance du travail intellectuel nécessaire pour parvenir à cette synthèse. (2)On leur propose des problèmes complexes qui se traduisent en une ou quelques équations : "elle a trois fois l'âge que j'avais quand..."; et le traitement algébrique ultérieur qui fournit la solution au problème est on ne peut plus synthétique également. (3) Qu'est-ce qu'une droite ? $A$. Une autre droite ? $B$. Le point d'intersection de $A$ et de $B$? $C:=A\cap B$...(4) Une fonction ? $f$; l'image de la fonction $f$ au point $3$? $f(3)$...

En un mot comme en cent, l'art de la synthèse. Une qualité scientifique primordiale : synthétiser des informations nombreuses, aller à l'essentiel, à l'essence des choses. Pire : les rédactions originales sont gommées, les errements pourtant faisant intrinsèquement partie de la pratique mathématique réelle et vivante non valorisés voire dépréciés (pas le temps dans des classes surchargées à 32 de tenir compte de la personnalité mathématique de chacun; on uniformise, on met d'équerre, c'est presque du Audiard, risible si ce n'était à pleurer...)

Et tout-à-coup, comme un cheveu sur la soupe, un chapitre où il faut prendre son temps, faire des phrases, modéliser ie proposer des modèles plus ou moins pertinents,  envisager les moindres détails ( "le dé est truqué" ) dans une discipline où il est de bon ton d'ignorer que si tu achètes $50$ réfrigérateurs, tu risques de ne pas payer $50$ fois le prix d'un réfrigérateur indiqué en boutique... Ou non non les formules c'est pas bien, faut que tu raisonnes avec le "et" et le "ou"... Eh bien non, ce ne sont plus des maths- au sens étriqué que leur donne l'école vu le peu de moyens dont elle dispose-, ils ont bien raison, tes élèves.