Est-ce que cette série correspond à quelque chose ?
Dans un de mes bouquins, je trouve une série de terme général $k^ne^{i n^2 \theta}$, où $k \in ]0,1[$ et $\theta \in \R$. Dans le livre, elle sert d'exemple au critère de Cauchy appliqué à une série, je ne pense pas que ce soit important ici.
Les exemples dans mes bouquins sont rarement choisis au hasard, souvent ça cache un morceau de culture mathématique qu'on reverra plus tard, comme les séries $\displaystyle \sum \dfrac{1}{n^s}$ qu'on finit par noter $\zeta(s)$ ou $\displaystyle \sum \dfrac{(-1)^n}{n}$ qui devient une valeur numérique d'une série entière.
Pourtant, cette série dont je vous parle ne m'inspire pour l'instant rien. J'ai essayé de chercher un peu du côté des séries de Fourier ou des choses comme ça, mais je ne vois pas. Bon, il est tout à fait possible que cette bestiole ait été construite "uniquement pour servir d'illustration", mais au cas où ça ne serait pas le cas, j'aimerais bien savoir d'où sort une série pareille. L'exponentielle imaginaire avec un carré dedans m'intrigue.
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Réponses
Tout part de la Fonction de Jacobi (ou triple produit de Jacobi).
Elle est définie avec $q$ paramètre réel et $z$ variable complexe (différent de 0) de module $r $ et d’argument $t$ compris entre 0 et $2π$ par l’identité :
$\prod_1^{+\infty}(1+q^{2n-1}z)(1+\frac{q^{2n-1}}{z})1-q^{2n})=1+\sum_1^{+\infty}q^{n^2}(z^n+\frac{1}{z^n})$
Il s’agit d’une identité en termes complexes dont la démonstration se fait par récurrence à partir des premiers termes du développement en polynôme de variable réelle $q$ au premier membre.
Si $z = 1$ l'identité est réelle avec $q < 1$ :
$P(q) = \prod_1^{+\infty}(1+q^{2n-1})^2(1-q^{2n})=1+2\sum_1^{+\infty}q^{n^2}$
et si $0 < q < 1$ alors $P(q) = \theta(-\ln q)$ avec $\theta(x) = 1 + 2\sum_1^{+\infty} e^{-n^2.x}$ la fonction theta de Riemann qui admet une relation fonctionnelle :
$\sqrt{x}\theta(\pi.x)=\theta(\frac{\pi}{x})$
cette fonction theta permet de démontrer la relation fonctionnelle importante gouvernant Zeta de Riemann soit
$\zeta(1-x)=\frac{2\Gamma(x)\cos\frac{\pi x}{2}}{(2\pi)^x}.\zeta(x)$
Cordialement.