Intégrale et inégalité

matheuxpro · January 2023

Bonjour

Soit $p(u,x):=(4 \pi u)^{-1/2} e^{-\frac{x^2}{4u}},\ u>0,\ x \in \mathbb{R}.$

Soit $\mathcal{E}:=\{\phi \in C_c^{\infty}(\mathbb{R})\mid \text{supp}(\phi) \subset B(0,1),\ ||\phi||_{\infty} \leq 1\}.$

Prouver que pour tout $U>0,$ il existe $\epsilon>0,\ C>0$ tel que pour tout $\lambda \in ]0,1],\ u,v \in [0,U],$ $$u\leq v \implies \sup_{x \in \mathbb{R}} \sup_{\phi \in \mathcal{E}}\left(\int_u^{v} \int_{\mathbb{R}} \left(\int_{\mathbb{R}} \phi_x^\lambda(y_1)p(v-r,y_1-y_2)dy_1 \right)^2 dy_2 dr+\int_0^u\int_{\mathbb{R}}\left(\int_{\mathbb{R}}\phi_x^\lambda(y_1)(p(v-r,y_1-y_2)-p(u-r,y_1-y_2))dy_1\right)^2dy_2dr\right)\leq C|v-u|^\varepsilon \lambda,$$

où $\phi_x^\lambda(y) = \lambda^{-1} \phi(\lambda^{-1}(y-x)).$

Comment prouver l'inégalité ci-dessus ?

Merci.

P.2 · January 2023

Qui est cet $r$ qui apparait dans ton monstre?

matheuxpro · January 2023

Bonjour, désolé, la question fait partie de la preuve d'un lemme technique pour la preuve d'un théorème. Le prof a donné des idées pour les grandes étapes. Mais Hier il a précisé qu'il y a une faute dans l'une des étapes de la preuve, alors la question ci-dessus est changée.

P.2 · January 2023

Incompréhensible, avec les $dy_2 dr $ placés n'importe comment. Et pourquoi trimballer $ |v-u|$ quand $v$ et $u$ n'interviennent jamais séparément ? Tu fais des études de mathématiques apparemment. Poser les problèmes clairement, sans hypothèses inutiles, avec de bonnes notations fait partie du métier. Par exemple pourquoi ne pas remplacer les fonctions $\phi(x) $ par $1_{[0,1]}(x)$ ? Regarde bien, ça ne change rien au problème -une fois qu'il aura enfin été correctement présenté.

matheuxpro · January 2023

Concernant $dy_2dr$ le problème est ajusté. Toutes les hypothèses du problème sont nécessaires pour faire un raisonnement.

gebrane · January 2023

Ta question est parasitée par des notations affreuses.

Le $\beta$ figure seulement dans le membre de droite de l'inégalité donc si tu passes à la limite quand ce $\beta$ tend vers +\infty$, tu tombes sur une absurdité.

Si tu veux de l'aide donne une source et surtout le théorème à démontrer par ce lemme.

Barjovrille · January 2023

Je suis d'accord avec la remarque de @gebrane pour $\beta$ ,bon je pense que l'important c'est le contrôle par $|u-v|$ de toute façon.

La fonction $p$ est paire selon le deuxième argument. Donc dans ton expression tu reconnais la norme $L^2$ au carré du produit de convolution entre $\phi_{x}^{\lambda}$ et $p(r,.)$. Tu utilises l'inégalité de Young pour la convolution (il faut vérifier que tu as le droit de l'utiliser) avec les bons exposants pour faire apparaitre la norme $L^1$ de $p(r,.)$.
En remarquant que $p(r,.)$ est la densité de la loi normale la norme $L^1$ est égale à 1 donc ça disparait. Ensuite tu fais un changement de variable pour faire apparaître un $\phi(z)$. Tu utilises que $\phi$ est à support dans la boule unité et la majoration par la norme $\infty$ tu devrais retrouver une majoration qui dépend de $\lambda$, la mesure de la boule unité et de $|u-v|$

gebrane · January 2023

Intéressant cher @Barjovrille

matheuxpro · January 2023

L'objectif est de prouver une version du critere de continuité de Kolmogorov, un resultat proche est donné là: https://arxiv.org/abs/1508.03616, theoreme 2.7, concernant $\beta$ l'apparition de $\beta,$ ça peut etre par un argument d'interpolation. La question ci-dessus est une version simplifiée pour ne pas avoir des complications comme la preuve du theoreme 2.7