Est-ce que cette série correspond à quelque chose ?

Homo Topi · January 2023

Dans un de mes bouquins, je trouve une série de terme général $k^ne^{i n^2 \theta}$, où $k \in ]0,1[$ et $\theta \in \R$. Dans le livre, elle sert d'exemple au critère de Cauchy appliqué à une série, je ne pense pas que ce soit important ici.

Les exemples dans mes bouquins sont rarement choisis au hasard, souvent ça cache un morceau de culture mathématique qu'on reverra plus tard, comme les séries $\displaystyle \sum \dfrac{1}{n^s}$ qu'on finit par noter $\zeta(s)$ ou $\displaystyle \sum \dfrac{(-1)^n}{n}$ qui devient une valeur numérique d'une série entière.

Pourtant, cette série dont je vous parle ne m'inspire pour l'instant rien. J'ai essayé de chercher un peu du côté des séries de Fourier ou des choses comme ça, mais je ne vois pas. Bon, il est tout à fait possible que cette bestiole ait été construite "uniquement pour servir d'illustration", mais au cas où ça ne serait pas le cas, j'aimerais bien savoir d'où sort une série pareille. L'exponentielle imaginaire avec un carré dedans m'intrigue.

Guego · January 2023

https://en.wikipedia.org/wiki/Theta_function

Homo Topi · January 2023

Merci @Guego de me donner matière à réfléchir. Comment transformer mon machin à l'aide de cette fonction ne me parait pas trivial, mais je vais regarder un peu ce que je trouve.

Homo Topi · January 2023

Donc, avec la fonction $\vartheta$ de Jacobi, on a : $\vartheta(z,\tau) = 1 + 2 \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}e^{\pi i n^2 \tau}\cos(2\pi n z)$.

Moi, j'ai disons $f(k,\theta) :=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}k^ne^{i n^2 \theta} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty}k^ne^{i n^2 \theta}$.

Si je choisis $\tau = \dfrac{\theta}{\pi}$, j'ai un truc qui se rapproche : $\vartheta\Big(z,\dfrac{\theta}{\pi}\Big) = 1 + 2 \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}e^{i n^2 \theta}\cos(2\pi n z)$. Peut-être qu'on peut avoir quelque chose comme $f(k,\theta) = \dfrac{\vartheta(z, \theta/\pi)+1}{2}$. S'il est possible de trouver $z \in \C$ qui colle avec le morceau $k^n$, on tient peut-être quelque chose, MAIS.

Il y a toujours un mais. $\tau$ est censé être un nombre complexe de partie imaginaire strictement positive, et avec mon $\theta$ qui est dans $\R$, $\tau = \dfrac{\theta}{\pi}$ ne correspond pas. Je n'ai pas fait toutes les vérifications, mais en lisant sur Wikipédia, on choisit $\tau$ de cette manière pour avoir la convergence absolue de la série qui définit $\vartheta$. Dans mon livre, ma fonction $f(k,\theta)$ est traitée au début du chapitre sur les séries, longtemps avant la mention de convergence absolue, donc peut-être que $\theta$ réel permet de montrer plus facilement la convergence usuelle (puisque ça donne une exponentielle imaginaire de module $1$)... et donc on serait dans le cas où la série qui définit $f(k,\theta)$ converge, mais pas absolument. Donc une équation liant $f(k,\theta)$ à $\vartheta$ serait "surtout formelle" quand on a $\theta \in \R$.

Cependant, si $\theta \in \{\xi \in \C \mid \text{Im}(\xi)>0\}$, là ça serait propre. Alors faisons comme si. Il me reste à voir si je peux trouver $z \in \C$ tel que $k^n = \cos(2 \pi n z)$. J'ai quelques doutes...

Guego · January 2023

Si tu sommes de $-\infty$ à $+\infty$, au lieu de partir de 0 ou de $1$, tu as bien la fonction thêta de Jacobi.

Tu vas me dire "oui, mais dans mon livre, ça part de 0". Ok, alors dans ce cas, ça ne correspond plus. Parfois les exemples sont juste des exemples. Il ne faut pas forcément chercher un sens profond derrière tous.

jean lismonde · January 2023

Bonjour
Tout part de la Fonction de Jacobi (ou triple produit de Jacobi).

Elle est définie avec $q$ paramètre réel et $z$ variable complexe (différent de 0) de module $r $ et d’argument $t$ compris entre 0 et $2π$ par l’identité :

$\prod_1^{+\infty}(1+q^{2n-1}z)(1+\frac{q^{2n-1}}{z})1-q^{2n})=1+\sum_1^{+\infty}q^{n^2}(z^n+\frac{1}{z^n})$

Il s’agit d’une identité en termes complexes dont la démonstration se fait par récurrence à partir des premiers termes du développement en polynôme de variable réelle $q$ au premier membre.

Si $z = 1$ l'identité est réelle avec $q < 1$ :
$P(q) = \prod_1^{+\infty}(1+q^{2n-1})^2(1-q^{2n})=1+2\sum_1^{+\infty}q^{n^2}$

et si $0 < q < 1$ alors $P(q) = \theta(-\ln q)$ avec $\theta(x) = 1 + 2\sum_1^{+\infty} e^{-n^2.x}$ la fonction theta de Riemann qui admet une relation fonctionnelle :
$\sqrt{x}\theta(\pi.x)=\theta(\frac{\pi}{x})$
cette fonction theta permet de démontrer la relation fonctionnelle importante gouvernant Zeta de Riemann soit
$\zeta(1-x)=\frac{2\Gamma(x)\cos\frac{\pi x}{2}}{(2\pi)^x}.\zeta(x)$

Cordialement.

Homo Topi · January 2023

@Guego bien sûr. L'exercice est juste de savoir si on peut faire correspondre exactement ou non. Si oui, chouette. Sinon, pas grave. Dans tous les cas l'inspiration pour cet exemple provient de cette fonction $\vartheta$, donc j'aurai découvert quelque chose de nouveau pour ma culture mathématique.

Est-ce que cette série correspond à quelque chose ?

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