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Légende du dernier théorème de Fermat

Julia PauleJulia Paule
dans Histoire des Mathématiques

Bonjour, je viens de découvrir, à la suite des liens donnés en bas de ce message, que la démonstration "merveilleuse" qu'avait (soi-disant) trouvée Fermat dans son dernier théorème, est en fait une légende. Je m'explique.

Je l'avais lu (par exemple) dans "Le dernier théorème de Fermat" de Simon Singh, et dans bon nombre d'articles et/ou d'autres livres.

En fait, la note écrite par Fermat sur son dernier théorème n’a jamais été retrouvée. On en a une description seulement par son fils qui a ré-édité la page qui la contenait en l’augmentant de l’annotation de son père, mais on n’en a aucune autre preuve. La page contenant cette annotation n'a jamais été retrouvée, peut-être détruite par son fils, ni aucun document ou note y faisant référence ou contenant des éléments de cette démonstration.

Cette annotation, si elle a bien été écrite par Fermat, aurait été écrite pour lui seulement, car il n’en a jamais fait allusion dans des lettres envoyées à ses contemporains. Et Fermat ne publiait rien, on a ses travaux seulement par son courrier à ses contemporains, quand il était sûr d'avoir démontré quelque chose. S'il avait été sûr de sa démonstration pour tout $n > 2$, il en aurait parlé dans un de ses courriers, or ce n'est pas le cas.

Il a fait allusion dans son courrier au cas $n=4$ (il dit l’avoir démontré) et $n=3$ seulement (il l’aurait démontré mais on ne sait pas si elle comportait une erreur ou non).

Par contre il a affirmé dans un courrier que tous les nombres de Fermat (du type $2^{2^n}+1$) sont des nombres premiers, alors que c’est vrai pour $n = 0$ à $4$, et faux pour $n = 6$ à $32$, et on ne sait pas après (mais moins d’1 chance sur 1 milliard). Et il avait déjà employé le terme de « merveilleux » pour cette démonstration : « Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 17, etc. sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car j'ai déjà trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part. ». Donc ce terme n’a rien d’exceptionnel dans ses propos. C’est la seule conjecture erronée de Fermat (47 autres conjectures furent prouvées).

Donc il peut se tromper dans son courrier, et encore il n’a même pas affirmé le dernier théorème de Fermat dans un courrier.

Donc il est fort probable qu’il a écrit cette note pour lui, qu’il s’est trompé car en se vérifiant il ne l’a pas affirmé dans un courrier, qu’il l’a oubliée, que son fils l’a retrouvée, qu’il l’a publiée, et que c’est comme cela que s’est construit cette légende, probablement à cause de ces termes : « merveilleuse démonstration », qui a piqué au vif les mathématiciens, qui ont commencé à publier, et qui de ce fait a continué à piquer au vif les mathématiciens, et les pseudos-mathématiciens aussi, ce théorème est devenu une légende, et finalement a contribué au développement des mathématiques en théorie des nombres, pour le plus grand bien de cette théorie !!!

Il y a aussi que les conjectures en arithmétique sont très faciles à énoncer (tout le monde peut les comprendre), et parfois extrêmement difficiles voire impossibles à démontrer. Ce qui est très trompeur, et c’est ce qui explique pourquoi bon nombre de mathématiciens, et de pseudos-mathématiciens ont voulu ou veulent encore s’y mettre, espérant peut-être (re)trouver la fameuse démonstration de Fermat.

Et voilà pour cette légende de démonstration merveilleuse !!!!!! qui ne repose sur rien …........

Mes références :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Dernier_théorème_de_Fermat

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Fermat

Ma question : qu'en pensez-vous, qui avait intérêt à entretenir cette légende, et pourquoi ?

Réponses

  • Math CossMath Coss
    Modifié (January 2023)
    L'absence de preuve d'une note n'est pas la preuve d'une absence de note. Il ait est possible aussi que Fermat ait pensé avoir un argument, qu'il ait écrit sa note avant de voir que l'argument était partiel ou faux. Bref, il me semble que tu vas vite en besogne.
  • LEGLEG
    Bonjour 

    [Ma question : qu'en pensez-vous, qui avait intérêt à entretenir cette légende, et pourquoi ?]

    Peut être toi ... :D , pour que l'on parle de toi ... 

    Car comme tu le dis , il n'est plus là pour te répondre ...! À quoi bon polémiquer  ?



  • Julia PauleJulia Paule
    @Math Coss Vue la compétition qui régnait à l'époque et l'esprit malicieux de Fermat qui mettait au défi ses contemporains mathématiciens de trouver ce qu'il avait trouvé, sans rien indiquer ou presque de sa solution, il me semble que si Fermat détenait une preuve sérieuse, il ne se serait pas privé de le faire savoir (surtout pour un si bel énoncé, qui se présente comme un prolongement arithmétique du théorème de Pythagore, connu depuis les Grecs).
    Comme dans les énigmes policières, mon (intime) conviction est faite. Mais je peux me tromper.
  • Julia PauleJulia Paule
    @LEG, moi j'aurais intérêt à entretenir cette légende ? Mais tu racontes n'importe quoi, comme dans tes précédents messages, relis donc ce que j'ai écrit où je dis l'exact contraire.
  • DomDom
    Je retiens qu’il n’y a aucune preuve qu’il ait écrit cela. 
    J’ajouterais bien « point final ». 
  • Georges AbitbolGeorges Abitbol
    Modifié (January 2023)
    Merci pour ces informations ; je me suis justement demandé, à la vue du titre du fil, si le livre était exposé quelque part.
    Qui a intérêt à entretenir cette légende ? Les personnes qui aiment bien les histoires amusantes, tout simplement ; non ?
  • Julia PauleJulia Paule
    Modifié (January 2023)
    Merci @Dom, c'est ce que je pense, on n'a aucune preuve qu'il ait écrit cela. Et même s'il l'a écrit, il est fort probable qu'il s'est rendu compte lui-même que sa démonstration ne tenait pas.
    Ce qui est faux, c'est de dire : "Fermat a écrit que ....", comme je l'ai lu et entendu maintes fois. Ben non, on n'en sait rien.
    @GA, oui l'enquête pourrait être poussée plus loin et pourrait faire l'objet d'un livre, qui serait très intéressant !
  • DomDom
    Modifié (January 2023)
    Il y a plusieurs cas de citations apocryphes. 
    Pour les écrits, en voilà. 
  • gimaxgimax
    Merci Julia Paule, j'ignorais ces détails historiques...c'est très intéressant ! J'avoue être perplexe depuis longtemps sur cet engouement par des néophytes sur une preuve élémentaire de Fermat-Wiles. Bien sûr on ne peut pas prouver qu'une telle preuve n'existe pas, mais... Je ne crois pas à l'existence d'une telle preuve. Ma conviction personnelle depuis longtemps était que Fermat s'était tout simplement trompé... là je découvre qu'en fait il n'a peut-être jamais pensé avoir une preuve, c'est intéressant !
    qui avait intérêt à entretenir cette légende, et pourquoi ?
    Intérêt n'est sans doute pas le bon mot. Les gens aiment rêver et l'idée d'une telle preuve en fait fantasmer plus d'un, des gens qui en général n'ont pas des connaissances en maths très approfondies. De fait, je ne sais pas vous autres qui êtes toujours dans le milieu académique (moi je l'ai quitté il y a déjà quelques années), mais mon expérience du milieu de la recherche mathématique est le suivant : personne (que j'aie connu) dans ce milieu-là ne croit à une preuve élémentaire de Fermat-Wiles.
    Entretiennent cette légende des gens qui veulent croire qu'ils pourraient démontrer un grand théorème à coup d'arithmétique niveau lycée. Chacun ses rêves, ces gens-là ne font de mal à personne à part sans doute à eux-même en se berçant d'illusions.
  • Julia PauleJulia Paule
    Merci gimax pour ton retour d'expérience. Pour ma part je l'ai cru, que Fermat pensait avoir trouvé une démonstration de son théorème, et comme ce n'est pas n'importe qui ..., je pensais qu'il y avait une chance pour qu'il y ait une preuve avec les moyens de l'époque. Mais je ne suis pas dans le milieu de la recherche.
    Mais maintenant, comme tu le dis, je découvre que probablement il savait s'être trompé, c'est beaucoup plus logique.
    J'espère que du coup, si des gens (comme moi) tombent sur ce fil et se renseignent en allant lire Wiki ou une autre vérité historique, ils vont arrêter de perdre leur temps.
    @Dom, oui j'ai fait des interprétations par rapport au texte de Wiki, si c'est ce que tu veux dire.
  • malavitamalavita
    Modifié (January 2023)
    Bonjour,
    il me semble que cette fameuse démonstration repose sur le fait que les anneaux d'entiers sur les corps cyclotomiques sont factoriels. En tout cas, il y a une démonstration relativement simple du théorème de Fermat dans ce cas.
    Ce qui est par contre certain, c'est que la recherche de cette fameuse solution simple a généré [engendré ?] pas mal de jolies maths....;-)
    A+
    F.
  • JoaopaJoaopa
    Modifié (January 2023)
    C'est à peu près ce que pensent les scrutateurs de Fermat. Si Fermat a pensé à ça, c'est déjà un chef d’œuvre des mathématiques.
  • biguine_equationbiguine_equation
    Si il a dit ou écrit cela (dans la marge d’un exemplaire des Arithmétiques de Diophante), ce n’est qu’une extrapolation imprudente faite au début de ses travaux sur la théorie des nombres. Bref: il s’est trompé et il s’en est certainement vite rendu compte. Si il avait cru détenir une piste sérieuse, il s’en serait ouvert auprès des scientifiques avec lesquels il entretenait une correspondance.
  • biguine_equationbiguine_equation
    D’ailleurs, Fermat n’hésitait pas à renseigner Pascal sur l’état de ses recherches afin que ce dernier s’en serve pour progresser. C’était vrai en arithmétique autant qu’en probabilités.
  • Julia PauleJulia Paule
    Modifié (January 2023)
    Fermat aurait écrit son annotation dans la traduction en latin du livre de Diophante vers 1637, et il est décédé en 1665. Cela lui laissait une trentaine d'années pour faire connaitre son théorème. Je pense qu'il s'en est bien gardé s'il n'avait pas une preuve sérieuse, car un contre-exemple dans ce genre de théorème peut être trouvé avec de grandes valeurs, comme cela s'est produit avec les nombres de Fermat, ou avec la conjecture d'Euler : https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_d'Euler.
    Oui pour $p$ premier régulier, on trouve qu'il n'y a pas de solutions à Fermat pour $p \not \mid xyz$ : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier_régulier. Mais Fermat ne disposait pas de ces moyens à l'époque, introduits plus d'un siècle plus tard.
    Bref, soit Fermat a barré son annotation quand il s'est rendu de son erreur et son fils l'a publié quand même (mais cela n'a pas ma faveur), soit il l'a oubliée, ou plutôt, il a espéré arranger sa solution ou en trouver une autre tôt ou tard, et a laissé l'annotation en attendant. Soit encore il n'a rien écrit du tout, et son fils l'a reproduit comme une conjecture parce qu'il avait entendu son père en parler. On peut tout imaginer. Mais ce qui me parait certain, c'est qu'il n'avait pas de merveilleuse démonstration. Donc cette légende est fausse.
    Ha oui @gimax, j'adopte ton point de vue, les gens aiment rêver, et entretenir les légendes. C'est ce qui répond à la question de mon fil.
  • Georges AbitbolGeorges Abitbol
    @Julia Paule : En master, un prof nous a montré une "fausse" démonstration qui suppose justement qu'un anneau est factoriel (alors qu'il ne l'est pas), c'est peut-être de ça dont parle @malavita. Selon le prof, il est plausible qu'au moment d'écrire son truc dans la marge (s'il l'a écrit, bien sûr) ait eu cette "fausse" démonstration en tête. Et peut-être qu'il a lui-même trouvé l'erreur et n'en a pas parlé, comme tu le dis !
  • Julia PauleJulia Paule
    Modifié (January 2023)
    @GA Je ne connais pas suffisamment l'histoire des maths pour dire si Fermat a pu faire pour $n=3$ une factorisation à l'aide des anneaux d'entiers, comme a pu le faire Euler un siècle plus tard pour transformer l'équation en $2a(a^3+3b^3)=z^3$ et donner une expression pour $a$ et $b$ qu'on obtient facilement dans l'anneau $\mathbb Z[i\sqrt{3}]$ qui n'est pas factoriel, d'où une erreur de décomposition (mais qui a été rattrapable en se plaçant dans l'extension factorielle $\mathbb Z[j]$), et se rendre compte qu'il faisait cette erreur. Il me semble que l'idée des anneaux d'entiers et des corps de nombres n'avait pas été encore trouvée du temps de Fermat,mais je peux me tromper. Voici un bon papier : 
    Par contre, pour $n=4$, il semble qu'il ait eu la solution.
  • biguine_equationbiguine_equation
    Modifié (January 2023)
    Un extrait des travaux de l’historien Jean Itard dans la « Revue d’histoire des sciences ».



  • Julia PauleJulia Paule
    Modifié (January 2023)
    Ah d'accord, merci ! Ceci confirme. Sais-tu s'il a exposé la preuve pour $n=3$ à ses amis ou correspondants, ou seulement affirmé sans preuve ? Cela me parait difficile de démontrer la descente infinie sans l'anneau $\mathbb Z [i \sqrt 3]$.
    Sinon, en relisant le livre "Le dernier théorème de Fermat" de Simon Singh, c'est habilement fait pour laisser croire que Fermat a réellement trouvé la solution de son théorème. L'auteur s'est montré plus journaliste que scientifique ...
  • biguine_equationbiguine_equation
    Modifié (January 2023)
    Julia Paule: Fermat n’a pas, à ma connaissance, rédigé de preuves pour $n=3$. Il a proposé le problème à Mersenne en 1636. La première preuve écrite, pour $n=3$, étant celle d’Euler.
    Fermat croyait aussi que $2^{2^n}+1$ (édit: erreur corrigée. Merci Julia Paule) était premier pour tout $n$. Il avait écrit à Frénicle en août 1640: « Je n’ai pas la démonstration exacte mais j’ai exclu si grandes quantités de diviseurs par démonstrations infaillibles et j’ai de si grandes lumières qui établissent ma pensée, que j’aurais peine à me dédire. »
    Euler avait fourni un contre-exemple. 
  • Julia PauleJulia Paule
    Modifié (January 2023)
    Merci @biguine_equation. Tu veux dire $2^{2^n}+1$. L'intéressant est que Fermat cherchait déjà à l'époque à établir une formule qui donne à coup sûr un nombre premier. Mais bon, il a été honnête en disant qu'il n'avait pas la démonstration exacte.
    Quand il avait une démonstration pour un théorème, il mettait au défi les anglais. Cela voudrait dire qu'il n'avait pas la démonstration pour $n=3$. Mais tout laisse à penser qu'il avait quand même une très forte intuition de l'absence de solutions pour $n$ quelconque, sans démonstration, c'est assez curieux. Mais si c'est parce qu'il avait essayé des petites valeurs sans succès, comme pour les nombres de Fermat, cela devient plus plausible.
  • Julia PauleJulia Paule
    Modifié (January 2023)
    @malavita En creusant un peu plus, petite rectification, les anneaux d'entiers des corps cyclotomiques ne sont pas factoriels : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2405339/#Comment_2405339, mais seulement des anneaux de Dedekind, qui ont par définition une décomposition unique en idéaux premiers, ce qui y ressemble pour la décomposition unique, mais pas pour les éléments car ces idéaux ne sont pas forcément principaux.
    Alors, dans le cas où $p$ est un premier régulier (i.e. il ne divise pas le nombre de classes dans le corps cyclotomique $\mathbb Q (\zeta_p)$, et c'est de là que sort cette notion !), tous les idéaux qui rentrent dans la décomposition de l'équation de Fermat sont principaux (car leur puissance $p$-ième est un idéal principal donc ils sont d'ordre $1$ dans le groupe de classes, donc principaux), on est ramené à une décomposition unique en éléments de l'anneau d'entiers $\mathbb Z [\zeta_p]$, et on aboutit à une contradiction, qui démontre le théorème de Fermat pour ces $p$ premiers réguliers (en distinguant deux cas : 1er cas $p \not \mid xyz$, 2ème cas $p \mid xyz$ qui utilise la descente infinie).
  • Julia PauleJulia Paule
    Pour ceux que cela intéresse, un document vraiment super sur cette démonstration pour les $p$ premiers réguliers : https://www.math.toronto.edu/~ila/Kummer.pdf, indiquée récemment sur le forum, mais je ne sais plus où. Il est en anglais, mais quelqu'un d'autre a dit que les meilleurs documents sont en anglais, je vais finir par croire que c'est vrai.
  • JoaopaJoaopa
    Modifié (January 2023)
    C'est en FRANCAIS dans  https://www.gabay-editeur.com/BOREVITCH-et-CHAFAREVITCH-Theorie-des-nombres-1967
    Et c'est autrement plus complet que la merdouille de document attaché dans le message précédent.Ce qui prouve que les meilleurs documents sont en russe.
  • Julia PauleJulia Paule
    Merci bien. Mais ce n'est pas un cours complet que je recherche mais plutôt l'aspect historique des choses. Et je ne vois pas dans ton cours où il est question de cet aspect du dernier théorème de Fermat. 
    Pour ce qui est du russe, il me semble que ce n'est pas l'avis général du forum !
  • LEGLEG
    Modifié (February 2023)
    Julia Paule a dit :
    Pour ce qui est du russe, il me semble que ce n'est pas l'avis général du forum !
    Tout à Fait ... Mais il en est de même Pour ce qui est de l'anglais ...! Qui ne font que reprendre et pas toujours de la meilleur des manières, ce qui est découvert par les Français ... !
    Quant à cette citation qui te correspond selon tes dires : Chacun ses rêves, ces gens-là ne font de mal à personne à part sans doute à eux-même en se berçant d'illusions.
    (qui à mon sens et très restrictive)
    Donc : quelqu'un qui joue aux échec, ou apprend à devenir un ""champion"" il se fait du mal en se berçant d'illusions ...?
    Tu n'as pas l'impression de te bercer d'illusions .?
    Sans passion il n'y a pas de progression ... !
  • Julia PauleJulia Paule
    Modifié (February 2023)
    @LEG, je vais me répéter, tu racontes vraiment n'importe quoi et tu ne lis pas les messages. Et stp, arrête de polluer mon fil avec des remarques non constructives et inintéressantes.
    Et arrête aussi de te prendre pour un génie incompris, tu n'es pas un génie, et tu ne connais rien aux maths, ou plus précisément moins d'un milliardième des connaissances actuelles.
  • gimaxgimax
    Merci bien. Mais ce n'est pas un cours complet que je recherche mais plutôt l'aspect historique des choses. Et je ne vois pas dans ton cours où il est question de cet aspect du dernier théorème de Fermat.

    Il me semble que dans le document de Joaopa la preuve du cas des $p$ réguliers dans le théorème de Fermat est au chapitre 5  paragraphe 7.

    Pour ce qui est du russe, il me semble que ce n'est pas l'avis général du forum !
    Ah bon le forum a un avis général sur la question ? Je n'ai jamais vu d'ouvrages russes dénigrés pour ma part, et ceux que je connais (traduits évidemment, je ne lis pas le cyrillique) sont excellents.
  • LEGLEG

    Et arrête aussi de te prendre pour un génie incompris, 
    Contrairement à toi , je ne me prend pour personne... !

    Le fil est libre et il permet justement de faire des remarques même si elles ne te plaisent pas ! 
  • Julia PauleJulia Paule
    Merci @gimax. Ah je n'ai trouvé qu'une copie incomplète du livre de Joapa, et je n'ai pas l'intention de l'acheter. 
    Pour ce qui est de la langue, je ne dénigre pas le russe, loin de là, j'ai simplement lu sur le forum ou entendu à plusieurs reprises que les documents et les livres en anglais sont d'un niveau supérieur à ceux en français, ce qui peut se comprendre vu que c'est la langue de communication. Par exemple le meilleur livre (parait-il), dans le sens le plus pédagogique, sur la théorie des catégories est en anglais, écrit par une américaine. 
  • gimaxgimax
    Je ne suis pas convaincu par la supériorité des ouvrages en anglais. Surtout depuis que Calvage et Mounet existe !
    Mais surtout je pense que "le meilleur livre sur tel sujet" n'a pas de sens : chacun a sa manière propre de voir les choses, et certains livres qui conviendront très bien aux uns déplairont aux autres... Certains n'aiment que les livres parfaitement formalisés, d'autres au contraire préfèrent les livres qui illustrent beaucoup mais n'entrent pas dans les détails techniques... bref, quel que soit le sujet, un livre qui soit unanimement considéré comme "le meilleur" me semble ne pas pouvoir exister. Chacun son truc, et heureusement : c'est dans la diversité des tournures d'esprits que la science peut avancer ; si tout le monde pensait pareil, il ne se passerait pas grand-chose !
  • LEGLEG
    Bonjour

    @gimax : Entièrement d'accord ...
  • Julia PauleJulia Paule
    @gimax, je suis bien d'accord avec toi. Ce que j'appelle les livres pédagogiques, ce sont les livres (ou les documents) qui abordent le mieux les sujets pour ceux qui ne connaissent rien à la théorie. Par exemple, j'ai été déçue par les 2 livres de Daniel Perrin (Algèbre, et Géométrie algébrique), que je n'ai vu que comme des condensés destinés à  ceux qui connaissent déjà. Une petite phrase en couverture ou en introduction expliquant ce fait aurait été bienvenue pour savoir où on va. En fait les auteurs se font plaisir, mais veulent quand même vendre leurs bouquins à un plus grand nombre. Je vais m'attirer les foudres.
    De ma courte expérience, le plus souvent ce sont les documents émanant des ENS qui sont de loin les plus pédagogiques et les plus clairs.
  • gimaxgimax
    Modifié (February 2023)
    Ce que j'appelle les livres pédagogiques, ce sont les livres (ou les documents) qui abordent le mieux les sujets pour ceux qui ne connaissent rien à la théorie.

    Là encore, je persiste et signe, chacun sa manière de voir les choses. Il n'y a pas de "meilleure manière" d'aborder une théorie quand on ne la connaît pas, et à nouveau un livre qui pour cela conviendra bien aux uns, conviendra moins bien aux autres. D'ailleurs, j'ai bien aimé le cours d'algèbre de Perrin que j'ai étudié en L3 alors que je ne connaissais rien à la théorie. J'y ai appris à peu près tout ce que je sais (enfin j'ai dû oublier beaucoup de chose depuis) mais à l'époque c'était vraiment le livre dans lequel j'ai découvert et appris. Que ce soit pour découvrir ou pour approfondir, on est tous différent et le meilleur livre pas plus que le meilleur prof n'existe.

  • Julia PauleJulia Paule
    Modifié (February 2023)
    Mais je suis d'accord. Pour ma part j'ai besoin que tout soit démontré, d'autres n'en éprouvent pas le besoin, un ressenti rapide leur est suffisant, cela m'arrive aussi si c'est évident. Donc si ce n'est pas fait, je le fais à la place de l'auteur, je passe beaucoup de temps, et je perds le fil conducteur. L'algèbre est très riche, on pourrait en écrire des pages et des pages, des volumes entiers, le livre de D.Perrin est très court en comparaison. En fait dans son livre, je ne vois pas où il va, pourquoi il choisit certains thèmes et pas d'autres. Je l'ai acheté bien que connaissant pratiquement déjà tout ce qui est dit dans ce livre, pour me remettre en tête l'essentiel, mais finalement je suis obligée de me reporter sans arrêt aux livres et aux documents où j'ai appris. Mais cela est une constante générale je crois (pour moi en tout cas), on se reporte toujours aux documents où on a découvert et compris quelque chose, qui de ce fait sont très importants.
    Ceci dit, ce livre est intéressant, je le reprendrai certainement là où je l'ai laissé pour passer à autre chose.
  • JeremyLebreJeremyLebre
    Je pense aussi que si Fermat avait trouvé une démonstration de son théorème, il l'aurait écrite puisqu'il avait largement le temps de le faire.
  • biguine_equationbiguine_equation
    Disons qu’à 350 années près, il la tenait sa démonstration !
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