Potents et idempotents

Time
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Modifié (January 2023) dans Algèbre
Bonjour, j'ai besoin d'aide, je suis bloqué, j'arrive pas à comprendre SVP! Merci d'avance!
j'ai trouvé dans un cours en anglais:
1) Idempotents lift modulo nil ideals but potents elements are not in general.
2) In rings with finite characteristic, potents elements lift modulo nil ideals.
( Soit $R$ un anneau commutatif, $a \in R$ est dit potent si $a^n=a$ pour un ceratin entier $n >1$)
je n'arrive pas à voir l'utilité de caractéristique non nulle. j'aimerais trouver un exemple d'un anneau $R$ de caractéristique nulle, un idéal $I \subset Nil(R)$, un idempotent $\bar{e}$ dans $R/I$ tel que  $\bar{e}$ can't be lifted to un idempotent in $R$. ( excusez-moi, je n'ai pas traduit ça en francais pour ne pas écrire des bêtises)


Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Pas sûr d'avoir tout compris à ton message car le premier point dit qu'un idempotent se relève toujours en un idempotent, donc je vais plutôt te proposer un potent qui ne se relève pas en un potent. Dans $R=\mathbb Z[X]/(X^2)$, $I=(3X)$ est un idéal nilpotent, et $R/I \simeq \mathbb Z/3\mathbb Z$ contient l'élément $2$ qui est "tripotent" mais ses relevés dans $R$ sont les éléments de la forme $2 + kX$ avec $k$ divisible par $3$, qui ne sont jamais potents.
  • marco
    marco
    Modifié (January 2023)
    Soit $R=\mathbb{Z}[X]/((X^3-X)^2)$. Alors $Nil(R)=(X^3-X)$. On a bien $X^3\equiv X$ dans $R/Nil(R)$.
    Si il existe $P \in R$ tel que $P \equiv X$ dans $R/Nil(R)$ et $P^k=P$ dans $R$ pour un certain $k>1$. Alors $P=X+L(X^3-X)$ avec $L \in \mathbb{Z}[X]$.
    $P^k=X^k+kX^{k-1}L(X^3-X)$ dans $R$. Donc si $P^k=P$ dans $R$, on a $X^k-X$ divisible dans $\mathbb{Z}[X]$ par $X^3-X$, donc $k=2n+1$ pour un certain $n>0$ entier.
    Donc $P^k-P=X^{2n+1}+(2n+1)X^{2n}L(X^3-X)-X-L(X^3-X)=0$ dans $R$.
    $X^{2n+1}-X$ divisé par $X^3-X$ est égal à $S:=1+X^2+ \cdots+X^{2(n-1)}$
    Donc $S=L-(2n+1)X^{2n}L$ dans $\mathbb{Z}[X]/(X^3-X)$.
    Donc $n=S(1)=-2nL(1)$ en évaluant en $X=1$, ce qui est impossible car $L(1) \in \mathbb{Z}$.
  • Time
    Time
    Poirot Bonsoir, merci pour votre réponse. Vous m'avez donné un exemple d'un potent qui ne se relève pas en un potent dans le cas d'un anneau de caractéristique nulle. Est ce qu'on peut  dire que la condition de caractéristique non nulle est nécessaire pour que les potents puissent se relever en potents ?
  • Poirot
    Poirot
    Ta question est ambiguë, je ne sais pas quoi répondre.
  • marco
    marco
    Modifié (January 2023)
    @Poirot : pourquoi, dans ton exemple, a-t-on $R/I$ isomorphe à $\Z/3\Z$ ? 
  • Poirot
    Poirot
    C'est faux en effet, le quotient est plus gros.
  • Time
    Time
    Modifié (January 2023)
    Poirot En fait, je parle du cas général.  (Potents elements lift modulo nil ideals of rings with finite characteristic) par exemple, pour $R=\frac{\Z}{4\Z}$ et $I=2\frac{\Z}{4\Z}$, on $char(\frac{\Z}{4\Z})=4$ (is finite ) donc les éléments potents de $R/I$ se relèvent en des potents sur $R$.
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