Exercice de topologie

Bonjour,

voici deux questions de topologie que j'ai trouvées à deux endroits différents. Je souhaiterais savoir si ma démarche et si ma rédaction sont correctes (ayant encore un peu de mal en topologie...).

Question 1 : soient $A$ et $B$ deux parties d'un espace métrique. On suppose que $A$ est ouverte et que $A \cap B= \varnothing$.
Démontrer que $A \cap \overline{B}= \varnothing$.

Question 2 : soient $(E,d)$ un espace métrique et $A$, $B$ deux parties disjointes et denses dans $E$.
Montrer que $\mathring{A}=\mathring{B}=\varnothing$.

Question 1. Raisonnons par l'absurde. Supposons alors qu'il existe $x \in A \cap \overline{B}$. Alors $x \in A$ et $A$ est ouvert donc il existe $r>0$ tel que $B(x;r) \subset A$ (où $B(x;r)$ est la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r>0$) . De plus, $x \in \overline{B}$ donc il existe une suite $(x_n)$ d'éléments de $B$ qui converge vers $x$.
Alors, pour $n$ assez grand, la suite $(x_n)$ est dans $B(x;r) \subset A$ donc pour $n$ assez grand, la suite $(x_n)$ est élément de $A$ et $B$ , ce qui contredit le fait que $A \cap B= \varnothing$.
Donc $A \cap \overline{B}= \varnothing$.
Question 2. $A$ et $B$ sont disjointes donc $\mathring{A}$ et $B$ sont disjointes (en effet, s'il existe $x \in \mathring{A} \cap B$ alors $x \in A \cap B$ car $\mathring{A} \subset A$, ce qui est impossible ici).
De plus, $\mathring{A}$ est ouvert donc d'après la question $1$ , $\mathring{A} \cap \overline{B}= \varnothing$.
De la même manière, on a aussi : $\mathring{B} \cap \overline{A}= \varnothing$.
Or, $\overline{B}=\overline{A}=E$ par densité de $A$ et $B$ dans $E$. Ainsi, on obtient : $\mathring{A} \cap E= \varnothing$ et $\mathring{B} \cap E= \varnothing$ donc $\mathring{A}=\mathring{B}=\varnothing$.
À la base, je voulais vous présenter une deuxième méthode sans utiliser la question 1 pour faire la question 2 mais au final, ça revient quasiment à faire le travail de la question 1 en prenant $\mathring{A}$ au lieu de $A$...