Est-ce que cette série correspond à quelque chose ?
Réponses
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Donc, avec la fonction $\vartheta$ de Jacobi, on a : $\vartheta(z,\tau) = 1 + 2 \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}e^{\pi i n^2 \tau}\cos(2\pi n z)$.Moi, j'ai disons $f(k,\theta) :=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}k^ne^{i n^2 \theta} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty}k^ne^{i n^2 \theta}$.Si je choisis $\tau = \dfrac{\theta}{\pi}$, j'ai un truc qui se rapproche : $\vartheta\Big(z,\dfrac{\theta}{\pi}\Big) = 1 + 2 \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}e^{i n^2 \theta}\cos(2\pi n z)$. Peut-être qu'on peut avoir quelque chose comme $f(k,\theta) = \dfrac{\vartheta(z, \theta/\pi)+1}{2}$. S'il est possible de trouver $z \in \C$ qui colle avec le morceau $k^n$, on tient peut-être quelque chose, MAIS.Il y a toujours un mais. $\tau$ est censé être un nombre complexe de partie imaginaire strictement positive, et avec mon $\theta$ qui est dans $\R$, $\tau = \dfrac{\theta}{\pi}$ ne correspond pas. Je n'ai pas fait toutes les vérifications, mais en lisant sur Wikipédia, on choisit $\tau$ de cette manière pour avoir la convergence absolue de la série qui définit $\vartheta$. Dans mon livre, ma fonction $f(k,\theta)$ est traitée au début du chapitre sur les séries, longtemps avant la mention de convergence absolue, donc peut-être que $\theta$ réel permet de montrer plus facilement la convergence usuelle (puisque ça donne une exponentielle imaginaire de module $1$)... et donc on serait dans le cas où la série qui définit $f(k,\theta)$ converge, mais pas absolument. Donc une équation liant $f(k,\theta)$ à $\vartheta$ serait "surtout formelle" quand on a $\theta \in \R$.Cependant, si $\theta \in \{\xi \in \C \mid \text{Im}(\xi)>0\}$, là ça serait propre. Alors faisons comme si. Il me reste à voir si je peux trouver $z \in \C$ tel que $k^n = \cos(2 \pi n z)$. J'ai quelques doutes...
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Si tu sommes de $-\infty$ à $+\infty$, au lieu de partir de 0 ou de $1$, tu as bien la fonction thêta de Jacobi.Tu vas me dire "oui, mais dans mon livre, ça part de 0". Ok, alors dans ce cas, ça ne correspond plus. Parfois les exemples sont juste des exemples. Il ne faut pas forcément chercher un sens profond derrière tous.
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Bonjour
Tout part de la Fonction de Jacobi (ou triple produit de Jacobi).Elle est définie avec $q$ paramètre réel et $z$ variable complexe (différent de 0) de module $r $ et d’argument $t$ compris entre 0 et $2π$ par l’identité :
$\prod_1^{+\infty}(1+q^{2n-1}z)(1+\frac{q^{2n-1}}{z})1-q^{2n})=1+\sum_1^{+\infty}q^{n^2}(z^n+\frac{1}{z^n})$
Il s’agit d’une identité en termes complexes dont la démonstration se fait par récurrence à partir des premiers termes du développement en polynôme de variable réelle $q$ au premier membre.
Si $z = 1$ l'identité est réelle avec $q < 1$ :
$P(q) = \prod_1^{+\infty}(1+q^{2n-1})^2(1-q^{2n})=1+2\sum_1^{+\infty}q^{n^2}$et si $0 < q < 1$ alors $P(q) = \theta(-\ln q)$ avec $\theta(x) = 1 + 2\sum_1^{+\infty} e^{-n^2.x}$ la fonction theta de Riemann qui admet une relation fonctionnelle :
$\sqrt{x}\theta(\pi.x)=\theta(\frac{\pi}{x})$
cette fonction theta permet de démontrer la relation fonctionnelle importante gouvernant Zeta de Riemann soit
$\zeta(1-x)=\frac{2\Gamma(x)\cos\frac{\pi x}{2}}{(2\pi)^x}.\zeta(x)$Cordialement.
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@Guego bien sûr. L'exercice est juste de savoir si on peut faire correspondre exactement ou non. Si oui, chouette. Sinon, pas grave. Dans tous les cas l'inspiration pour cet exemple provient de cette fonction $\vartheta$, donc j'aurai découvert quelque chose de nouveau pour ma culture mathématique.
Bonjour!
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