Exercices oraux 2022 ENS/X/MinesPonts/Centrale de la RMS

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Réponses

  • JLT
    JLT
    $A$ et $B$ ne sont pas nécessairement co-trigonalisables, par exemple dans le cas où $A=B$ est une matrice non trigonalisable. Mais elles le sont une fois restreint à un sous-espace stable.
  • Parku
    Parku
    Bonjour,

    Une petite question pour le 49 b). Il ne s'agit pas de savoir le faire, mais de le faire avec les connaissances d'un candidat.
    J'arrive à montrer (sans utiliser le pfaffien) que le déterminant est le carré d'une fraction rationnelle à $\frac{n(n-1)}{2}$ variables (je peux donner des détails si besoin). J'obtiens donc qu'il existe des polynômes $A,B$ tels que $B^2 = \det_{\mathcal{A_n(\mathbb{R})}} A^2$. Pour conclure, je dis que $A^2$ divise $B^2$, donc $A$ divise $B$, puis en notant $P$ tel que $B = PA$, la relation $B^2 = \det_{\mathcal{A_n(\mathbb{R})}} A^2$ conduit à $\det_{\mathcal{A_n(\mathbb{R})}} = P^2$.

    Je sais justifier le "donc" en gras en utilisant la décomposition en facteurs irréductibles, mais un candidat n'est pas censé savoir que $\R \left[ \left( X_{i,j} \right)_{1 \leq i < j \leq n} \right]$ est factoriel. Voyez-vous une autre façon de conclure ?



  • john_john
    john_john
    J'ai été en face du même écueil que Parku : je ne vois pas comment me passer de la factorialité. Pour contourner le problème, je me suis toujours contenté de poser en colle la version suivante : le déterminant d'une matrice antisymétrique à coefficients dans $\Z$ est un carré parfait (on passe par les mêmes étapes, ce qui ne dénature pas l'exo).
    Sinon, il y a toujours la ressource de faire admettre la factorialité polynomiale ; d'ailleurs, qui nous dit que cela ne passe pas ainsi lors de l'oral d'Ulm.
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (January 2023)
    Vous procédez par opération sur la matrice antisymétrique pour la réduire (en utilisant une variante de la méthode de Gauss pour les formes quadratiques) ?
  • Parku
    Parku
    Modifié (January 2023)
    @MrJ Oui, je n'ai pas le courage de le taper, mais le résultat se trouve au point 21.2 du livre de Prasolov (que l'on trouve sur le site du traducteur en anglais à cette adresse : https://staff.math.su.se/mleites/books/prasolov-1994-problems.pdf, je suppose que c'est légal puisque c'est la page du traducteur, mais que la modération n'hésite pas à enlever le lien si ça ne l'est pas).

    Une autre manière de procéder consiste à faire une preuve par récurrence en utilisant la formule de Jacobi liant des déterminants extraits d'une matrice et de sa comatrice (pour te donner une référence sur cette formule de de Jacobi : le théorème 2.5.1 du Prasolov, avec $p=2$).
  • MrJ
    MrJ
    Merci pour ta réponse !

    Pour la première approche, c’est ce que j’imaginais.l
    Pour la seconde approche : je ne connaissais pas cette formule de Jacobi.
  • john_john
    john_john
    Modifié (January 2023)
    Formule de Jacobi : en voici une preuve simple. Si  $M=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$, d'inverse $M^{-1}=\begin{pmatrix}{A'}&{B'}\\{C'}&{D'}\end{pmatrix}$, (avec des blocs diagonaux carrés), on forme $MN$, où $N=\begin{pmatrix}{A'}&{0}\\{C'}&{\rm I}\end{pmatrix}$.
    On en déduit que ${\rm det}(M)\times{\rm det}(A')={\rm det}(D)$.

    Lorsque $M$ est orthogonale : ${\rm det}(M)\times{\rm det}(A)={\rm det}(D)$.
  • etanche
    etanche
    Modifié (January 2023)
    Pour le 122 il est dit que c’est un projecteur. Quel est son image et son noyau ? Merci 

  • JLT
    JLT
    On reconnaît la formule de Cauchy. C'est le projecteur sur la somme directe des sous-espaces caractéristiques correspondant aux valeurs propres situées dans le disque unité, parallèlement aux autres espaces caractéristiques.
  • Dagothur
    Dagothur
    Modifié (January 2023)
    Est ce que quelqu'un aurait une indication pour l'exercice 50? J'ai résolu le cas où $G$ est cyclique mais pas le cas général.
    En effet, dans le cas où $G$ est cyclique, soit $g$ un générateur de $G$. Il s'agit de montrer que $1$ est valeur propre de $g$.
    On raisonne par l'absurde. Si ce n'était pas le cas, on sait par un résultat sur la décomposition des matrices orthogonales que dans une base orthogonale bien choisie, $g$ a pour matrice une matrice diagonale par blocs $\textrm{Diag}(R_{\theta_1},...,R_{\theta_q})$, où chaque bloc $R_{\theta_j}$ est une matrice de rotation $2\times2$ (de déterminant 1) d'angle $\theta_j=\frac{2\pi k_j}{n}$ (car $g^n=1$) pour un certain $1\leq k_j < n$ (le cas $k_j=0$ est exclu car 1 n'est pas valeur propre)

    Soit $v$ comme dans l'énoncé tel que $||g(v)-v||^2<\frac{2n}{n-1}$, ce qui équivaut aussi à $\langle g(v),v \rangle > \frac{-1}{n-1}$. Je vais noter $(v_1,v_2,...,v_{2q-1},v_{2q})$ les coordonnées de $v$ dans la base qui "diagonalise" $g$. Partant de l'expression de $g$ comme matrice diagonale par blocs,  un calcul montre que $\langle g(v),v \rangle=\sum_{j=1}^{q} (v_{2j-1}^2+v_{2j}^2)\cos{\frac{2\pi k_j}{n}}>\frac{-1}{n-1}$.

    Par hypothèse de l'énoncé, on a encore $||g^p(v)-v||^2<\frac{2n}{n-1}$, pour $1\leq p <n$ et le même calcul montre cette fois ci les inégalités
    $\forall 1\leq p<n,\sum_{j=1}^{q} (v_{2j-1}^2+v_{2j}^2)\cos{\frac{2\pi k_j p}{n}}>\frac{-1}{n-1}$. En additionnant sur $p$ et avec l'égalité $\sum_{p=1}^{n-1} \cos{\frac{2\pi k_j p}{n}}=-1$, on arrive à $-\sum_{p=1}^{2q} v_j^2>-1$, ce qui est un contradiction car $v$ est unitaire et $\sum_{p=1}^{2q} v_j^2=1$

    Le problème est que je ne vois pas comment généraliser ce raisonnement au cas d'un groupe $G$ quelconque...
  • etanche
    etanche
    Modifié (January 2023)
    @ Dagothur en 2014 il y a eu une discussion sur les sous-groupe fini du groupe orthogonal 
    https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/1011911#Comment_1011911


  • etanche
    etanche
    Modifié (January 2023)
    @ JLT pour le 122 si $A = A^{*}$ hermitienne  avec la décomposition spectral 
    $(zI_n - A)^{-1}=\sum_{ k \in \sigma(A)} \frac{1}{z-k}P_k$ pour tout $z $ complex qui n’est valeur propre de $A$
    Mais si $ A$ n’est pas hermitienne je ne vois pas commnet faire sortir le projecteur ?
  • JLT
    JLT
    Modifié (January 2023)
    On se ramène au cas où $A=\lambda I+N$, avec $N$ nilpotente.
  • Parku
    Parku
    Modifié (January 2023)
    Autre idée pour le 122 (je ne l'ai pas écrit donc je ne garantis pas que ça fonctionne) : utiliser la densité des matrices diagonalisables dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ en observant que dans la preuve classique où on construit une suite $(A_k)$ en dunfordisant $A$ puis en ajoutant $\left(\frac{1}{k},\ldots,\frac{n}{k}\right)$ sur la diagonale, pour $k$ assez grand, la somme des sous-espaces caractéristiques de $A$ associés aux valeurs propres de module strictement inférieur à $r$ est la somme des sous-espaces propres de $A_k$ associés aux valeurs propres de module strictement inférieur à $r$. 
  • john_john
    john_john
    Pour le 50 (avec relecture SVP  :) )
    Cordialement, j__j
  • john_john
    john_john
    Modifié (January 2023)
    Pour le 122, on se ramène (Dunford) au cas où $A$ n'admet qu'une valeur propre $\lambda$. Si $|\lambda|<r$, on développe l'intégrande en série en factorisant $re^{it}$ dans le terme entre parenthèses et, sinon, on y factorise $A$ qui est forcément inversible dans ce cas. On obtient alors le projecteur cité par JLT. En fin de compte, ce n'est jamais qu'une formule des résidus.
  • Dagothur
    Dagothur
    Merci beaucoup. J'étais loin du compte on dirait... :)
  • john_john
    john_john
    De rien, Dagothur ! Cela dit, traiter un exo d'ENS en rajoutant une hypothèse doit déjà impressionner très favorablement le colleur, surtout si, comme ici, il s'agit d'un énoncé inédit du point de vue des concours quoique, sans doute bien connu... des spécialistes.
  • etanche
    etanche
    Modifié (January 2023)
    En lien avec le 122 https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/676312#Comment_676312

    Une autre en lien avec le 122 a été posté forum en 2011
    https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/670849#Comment_670849


    A. Taylor Introduction to functional analysis J. Wiley ed. (1967) 
    vers la page 300
  • john_john
    john_john
    etanche, le roi (que dis-je : l'empereur) de la référence.
  • etanche
    etanche
    Modifié (January 2023)
    Pour bien préparer les élèves aux oraux ENS ou l’X 
    https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/hugo.eulry/PDF/Enseignement/cours_algebre.pdf
    Quelques compléments autour de l’oral 122 voir page 14 à 19 du fichier ci-dessus les théorèmes 33, 34, 35 , 37.
    au menu résolvante/formule de Cauchy matricielle/calcul fonctionnelle/décomposition spectrale 

  • atrxial
    atrxial
    Modifié (January 2023)
    L'exercice 272 de la liste tombée aux oraux 2022 est incomplet, en effet c’est l’exercice que j’ai moi-même eu aux oraux MP de l’école polytechnique.  La fin de l’exercice est comme suit (fin assez spectaculaire nous en conviendrons) 
    d) Application : montrer que la fonction racine est croissante pour l’ordre de Loewner sur les matrices symétriques positives.
    [Charles Loewner (1893-1968) prend toujours une majuscule. AD]
  • JLapin
    JLapin
    Tu parles vraiment de l'exo avec $f^2+ a (f')^2$ ?
    Ca me semble tellement lointain d'en déduire la croissance de la racine sur $S_n^{++}(\R)$...
  • etanche
    etanche
    Modifié (January 2023)
    Pour l’ordre de Löwner y a le sujet Mines PSI 2006 
    https://www.doc-solus.fr/prepa/sci/adc/pdf/enonces.pdf/2006/PSI_MATHS_MINES_2_2006.enonce.pdf
    Voir la question 22 (réponse il faut que $0<r<1$ )

    @ artxial le 272 c’est de l’analyse. C’est quel exercice qui te semble incomplet ?
  • atrxial
    atrxial
    Modifié (January 2023)
    etanche a dit :
    @ artxial le 272 c’est de l’analyse. C’est quel exercice qui te semble incomplet ?
    JLapin a dit :
    Tu parles vraiment de l'exo avec $f^2+ a (f')^2$ ?
    Ça me semble tellement lointain d'en déduire la croissance de la racine sur $S_n^{++}(\R)$...
    Je vous assure que c'est cet exercice, faites le et vous verrez, c'est le but affiché par l'examinateur de voir si moi, pauvre préparationnaire, sait ouvrir mon esprit.
  • john_john
    john_john
    Modifié (January 2023)
    Pour l'instant, je ne vois pas trop le lien entre les deux questions mais, pourquoi pas après tout ? Il est en effet classique de démontrer des inégalités par des méthodes variationnelles, non ?
  • john_john
    john_john
    Pour caricaturer, on peut dire que certains soupçonnent atrxial d'avoir abusé de l'eau ferrugineuse ; eh bien non, il a bel et bien raison. Une petite heuristique pour ceux qui veulent finir l'exo (fin non encore publiée par mes soins) : si $b\geqslant a$ dans $\R_+^*$, alors $f^2+b{f'}^2\geqslant f^2+a{f'}^2$ pour toute fonction $f\in E$ ; on intègre cela sur $\R^+$ et l'on passe à la borne inférieure. On en conclut que $\sqrt b\geqslant\sqrt a$.

    Yapuka écrire la même chose avec des matrices... qui ne commutent pas, elles  >:)  
  • JLapin
    JLapin
    Merci !
  • john_john
    john_john
    De rien, JLapin

    Cum grano salis : le résultat montre même un peu mieux : si $b\geqslant a$ et $\sqrt b=\sqrt a$, alors $b=a$. Etonnant, non ?
  • JLT
    JLT
    john_john a dit :
     si (...) $\sqrt b=\sqrt a$, alors $b=a$. Etonnant, non ?
    Je ne vois pas ce qu'il y a d'étonnant.

  • john_john
    john_john
    Modifié (January 2023)
    Rien d'étonnant, justement ; c'est pourquoi j'avais écrit cum grano salis. En général, l'étude des cas d'égalité dans les inégalités donne des résultats intéressant mais, pour une fois, ça tombe à plat. Plouf...

    N'en déplaise à Desproges, j'écrirai la prochaine fois rien d'étonnant, non ?
  • atrxial
    atrxial
    Modifié (February 2023)
    d'ailleurs pour ceux qui veulent un peu rire, le 162 du rms 133 m'a honteusement été donné en introduisant C après X (cherchez l'erreur lol)
    l'examinatrice était sourde vis à vis de l'erreur que je pointais qui est d'ailleurs triviale, 30 min de débat de sourd sur 45 d'oral c'est un peu long..
    d'ailleurs je suis loin d'être le seul avec qui cette examinatrice a agi avec disons peu de professionnalisme
  • john_john
    john_john
    Une anecdote analogue : en 2019, un de mes élèves est sorti effondré de sa première planche de maths à l'X, car l'examinateur lui a donné un énoncé erroné qu'il n'a corrigé qu'au bout de vingt minutes.
    - Lui : après cela, il ne m'a plus posé que des trivialités, sans doute parce qu'il m'a trouvé nul.
    -     Moi :  au contraire, il a eu tellement peur que vous n'alliez protester au secrétariat qu'il était nécessaire pour lui que la suite de la planche se passe bien ; vous aurez une bonne note et l'incident sera clos :)

    C'est effectivement ce qui s'est passé.
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